図形と計量について

[ゲスト]

次のような三角形ABCにおいて、残りの辺と角を求めよ。
a＝1+√3 b＝√6 c＝2
という問題があるのですが、正弦定理を使ったらいいのか、余弦定理を使ったらいいのか、どっちも使うのか分かりません。例えば、｢2辺と1角が分かってたら○○定理｣など、何か決まりがあるのでしょうか。よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

一組の角と対辺が既知のとき、正弦定理を使える可能性が
高そうですが、そうではないならば、余弦定理を用いて、
角度を一つ求めます。

△ＡＢＣにおいて、ａ＝１＋√３、ｂ＝√６、ｃ＝２

この場合、”ａ＝１＋√３”が如何にも・・・って感じです。
よって、余弦定理を用いて、”cosＢ”か”cosＣ”を求めます。

cosＢ
＝(ｃ²＋ａ²－ｂ²)／(２ｃａ)
＝{２²＋(１＋√３)²－(√６)²}／{２･２･(１＋√３)}
＝{４＋４＋(２√３)－６}／{４･(１＋√３)}
＝(２＋２√３)／{４･(１＋√３)}
＝{２･(１＋√３)}／{４･(１＋√３)}
＝１／２
”０°＜Ｂ＜１８０°”より、Ｂ＝６０°

次に、正弦定理を用いて、”Ｃ”を求めます。
”ｃ＜ｂ”より、”Ｃ＜Ｂ”です。
ｃ／sinＣ＝ｂ／sinＢ
sinＣ
＝(ｃ／ｂ)･sinＢ
＝(２／√６)･sin60°
＝(２／√６)･{(√３)／２}
＝１／√２
”０°＜Ｃ＜６０°”より、Ｃ＝４５°
直ちに、Ａ＝７５°

以上です。

[ゲスト]

◆ 正弦定理とは
三角形ABCにおいて、次のような関係があります：
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]
* a,b,c：三角形の辺の長さ（各辺の向かいの角が A,B,C）
* sinA：角Aの正弦（サイン）

◆ 余弦定理とは
三角形ABCにおいて、例えば次のような式が成り立ちます：
\[
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A
\]
他にも、角Bや角Cを使った形もあります。

◆ どうやって使い分けるの？
以下を覚えると便利です！（添付２、３も見てください）
辺が3つわかってる：余弦定理→角を出せる
2辺とその間の角：余弦定理→残りの辺を出せる
1辺とその向かいの角、もう1つの辺または角：正弦定理→他の角や辺を出せる
角が2つと1辺：正弦定理→残りを出すのが簡単

◆ 今回の問題
三角形ABCにおいて
\[
a = 1 + \sqrt{3},\ b = \sqrt{6},\ c = 2
\]
辺の長さは全てわかっているので、角を求めていきましょう。
まずわかりやすいように図を書きます。添付３を見てください。

◆ Step 1：何がわかっている？
* 辺 a,b,c がすべて分かっている
* 角度は何もわからない
→ この場合は、余弦定理で角を求めるしかありません！

◆ Step 2：余弦定理で角Aを求める
まず、余弦定理の式を使って角Aを求めてみましょう。※ちなみにこの方法ではうまくいきません。まずはやってみます。
\[
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A
\]
値を代入します：

\[
(1 + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 2 \cdot \cos A
\]
それぞれ計算します：
左辺：
\[
(1 + \sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}
\]

右辺：
\[
\sqrt{6}^2 + 2^2 -2 \cdot \sqrt{6} \cdot 2 \cdot \cos A= 10-4\sqrt{6}\cdot \cos A
\]

式全体を整理すると：

\[
4 + 2\sqrt{3} = 10 - 4\sqrt{6} \cdot \cos A
\]
両辺を移項して：

\[
4\sqrt{6} \cos A = 10 - (4 + 2\sqrt{3}) = 6 - 2\sqrt{3}
\]
最後に角Aの余弦を求めます：

\[
\cos A = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{4\sqrt{6}}
\]

ただ、これでは具体的なAの角度は分かりにくいですよね。
このまま進めていってもできなくはないのですが、もう少し簡単にするため、角度BやCを求めてみましょう。


◆ Step 3：余弦定理で角Bを求める
\[
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B
\]
値を代入します：

\[
\sqrt{6}^2 = (1+\sqrt{3})^2 + 2^2 - (1+\sqrt{3}) \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos B
\]
\[
6 = 1+2\sqrt{3}+3 + 4 - 4(1+\sqrt{3}) \cdot \cos B
\]
\[
-2-2\sqrt{3} = - 4(1+\sqrt{3}) \cdot \cos B
\]
\[
cos B=\frac{-2-2\sqrt{3}}{-4(1+\sqrt{3})}
\]
\begin{equation}
cosB=\frac{-2(1+\sqrt{3})}{-4(1+\sqrt{3})}
\end{equation}

\begin{equation}
cos B=\frac{1}{2}
\end{equation}

ここでBは三角形の内角なので
\[
0<B<180°
\]
よって、角Bは60°

これで、２辺と１つの角がわかっているので、正弦定理を使ってCを求めてみましょう。

◆ Step 4：正弦定理で角Cを求める
角Bが求まったので、次は正弦定理が使えます。

\[
\frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B}
\quad \Rightarrow \quad
\sin C = \frac{b \cdot \sin B}{c}
\]
ここで、b=√6,c=2,sinB=sin60°=√3/2であるから、
\[
\sin C = \frac{\sqrt{3}\cdot2}{2\sqrt{6}}
\]
\[
\sin C = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}
\]
\[
\sin C = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
角Bが60°であることから、角Cは以下の範囲です。
\[
0<B<120°
\]
よって、角Cは45°です。
◆ Step 4：角Aの求め方
三角形の内角の和は180°なので、

\[
A = 180^\circ - B - C
\]
\[
A = 75^\circ
\]

◆ まとめ
・辺が3つわかっていたら → 余弦定理で角を出す！
・向かいの角と辺のうち３つがわかっていたら→ 正弦定理で残りの角・辺を出す！
・必ず「何が与えられているか」を見て、適切な定理を選ぼう。