合成関数と領域について

[ゲスト]

合成関数の問題の解説見ると値域と定義域を確認してるのが一つもないんだけどいいんですか

例えば反比例の関数を直線の関数にいれるとき反比例の値域外を除くことを記述しなくていいんでしょうか…？

[ゲスト]

質問は合成関数ですよね。

まず「直線の関数」というのは正しくありません。
1次関数(定数も含めて)は直線ですが、直線はy軸に平行な直線のように関数ではない直線もあるので。

質問の例を記述すると

正比例
y = f(x) = 1/x

1次関数
z = g(y) = 2y + 1

合成関数(z を x についての関数とする)
z
= g(y)
g(f(x))
= 2(1/x) + 1
= 2/x + 1
としても、定義域 x ≠ 0 は変わりはありません。

例として提示されたあなたの合成関数では定義域に変わりはありません。

しかし、たまたまです。

例えば次の合成関数を考えればよい。
z = g(y) = 1/y
y = f(x) = 1/x

これの合成関数(z を x の関数)にすると
z
= g(y)
= g(f(x))
= 1(1/x)
= x
となる。

ただし、もともとの x は定義域が x ≠ 0 で定義されているので

合成関数 z は
z = x (ただし、x≠0)
となる。

グラフに書くと x = 0 は不連続となり その部分は
─◯─
と穴が空きます。

z を単にxについての1次関数として定義された
z = x
と合成関数として定義された
z = g(y) = 1/y
y = f(x) = 1/x
の帰結としての
z = x
では定義域の異なる関数の場合もあるといことです。

このようなことは合成関数でなくてもあります。
y = x²/x
とあれば
y = x²/x
はx ≠0 の条件下で
= x (ただし、x ≠ 0)

あるいは対数関数(実数範囲の対数関数)などは 0 < 真数が記述はなくても定義されている。

あるいは指数法則の底 も 0 < 底 で定義されている

あるいは三角関数は実数全体で定義されるが、その逆関数はそもそも「関数の定義」の縛りによって定義域が実数全体で定義しない。

など、いろいろ出てきますので。

ちょうど良い機会なので
四則演算の定義
関数の定義
などの、逆に「定義されていないこと」を学習しておけばよいかと思います。