速度の問題が苦手です

[ゲスト]

Aくんは、午前8時に家をでて、1600m離れた中学校へ向かった。はじめに毎分80mの速さで歩いていたが、途中から毎分240mの速さで走ったところ、午前8時16分に中学校へついた .
Aくんが歩いた道のりと走った道のりをそれぞれ求めなさい。

という問題が全然イメージが湧きません。どうやって解けばいいのか教えてください。

[ゲスト]

まずは問題を解く前に必要な知識を復習しておきましょう。
速さと時間から道のりを求める式は次のとおりです。
ここでは分速とメートルで単位を表します。

\begin{equation}
速さ（m/分）\times時間（分）=道のり（m）
\end{equation}

また、今回の問題は文章だけ見ていてもよくわからないので、図にしてみましょう。添付１を見てください。
途中からスピードが変わる点に要注意です。

いま求めたいのは、「歩いた道のり」と「走った道のり」です。
解き方の方針としては、まずは歩いた道のりをx（m）、走った道のりをy（m）とおいてみましょう。
求めたいものを文字で置くのが中学数学の基本です。

そして、xとyの関係式を２個作ることができれば、あとは連立方程式で解けそうですよね。

では式を作っていきましょう。まずは全体の道のりが1600（m）ですので、以下の式が成り立ちます。

\begin{equation}
x+y=1600・・・①
\end{equation}

あと使っていないヒントは8時に出て8時16分に到着したということです。
このヒントを使おうと思ったら、歩いた時間と走った時間の合計が16分という式を求めないといけません。

ではまず歩いた時間をxを使って求めてみましょう。
\begin{equation}
80（m/分）\times歩いた時間（分）=x（m）
\end{equation}
\begin{equation}
歩いた時間（分）=\frac{x}{80}
\end{equation}

また、走った時間も同じように考えると次のようになります。
\begin{equation}
240（m/分）\times走った時間（分）=y（m）
\end{equation}
\begin{equation}
走った時間（分）=\frac{y}{240}
\end{equation}

よって、歩いた時間と走った時間の合計は次のような関係式なります。
\begin{equation}
\frac{x}{80}+\frac{y}{240}=16・・・②
\end{equation}

したがって、①と②の2つの式から連立方程式を解いて、xとyを求められます。

\begin{equation}
x+y=1600・・・①
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{x}{80}+\frac{y}{240}=16・・・②
\end{equation}

見やすくするため②の両辺に240をかけます。
\begin{equation}
240\times(\frac{x}{80}+\frac{y}{240})=240\times16
\end{equation}
\begin{equation}
3x+y=3840
\end{equation}
この式のyに①を代入しましょう。
\begin{equation}
3x+1600-x=3840
\end{equation}
\begin{equation}
2x=2240
\end{equation}
\begin{equation}
x=1120
\end{equation}
これを①の式に代入してyを求めます。
\begin{equation}
1120+y=1600
\end{equation}
\begin{equation}
y=480
\end{equation}

よって、答えは次の通りになります。
\begin{equation}
歩いた道のり：1120（m）、走った道のり：480（m）
\end{equation}

図にすると添付２のようになります。