4チームがリーグ戦を行う。すなわち、各チームは他の全チームとそれぞれ1回ずつ対戦する。引き分けはなく、勝つ確率はすべて1/2で、各回の勝敗は独立に決まるものとする。
勝ち数の多い順に順位をつけ、勝ち数が同じであれば同順位とする。1位のチーム数の期待値を求めよ。
という問題なのですが、解説には1位のチームの勝ち数が2の時、1位のチーム数は3または２であると書いてました。これはどう導けばいいですか？
チームそれぞれが干渉し合うので漏れなく場合分けするのがとても難しく感じます
場合の数について（CヤPは使ってOK）
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ゲスト
Re: 場合の数について（CヤPは使ってOK）
＞解説には1位のチームの勝ち数が2の時、1位のチーム数は3または２であると書いてました。
＞これはどう導けばいいですか？
1位のチームの勝ち数だけなら簡単です。
4チームあるので、全部の試合数は 4C2=6試合です。
だから勝ち数の合計も6で、これを4チームで分けると考えればいいです。
まず、最大の勝ち数は3ですが、
この場合は1位のチームが全勝しているので、
1チームだけです。
次に勝ち数が2の場合は、勝ち数の合計の6を
(2,2,1,1)と(2,2,2,0)に分ける2通りなので、
1位のチームは2チームか3チームです。
そして、勝ち数が1以下だと1位になれないので、
1位のチーム数は、勝ち数3の場合は1チーム、
勝ち数2の場合は2チームか3チームの3通りということです。
ただ、難しいのは、その結果になる確率の計算なので、
その考え方を2つ書いておきます。
【勝ち数で場合分け】
4チームのリーグ戦なので、全試合数は、4C2 = 6試合。
そして、各試合ごとに2通りの結果が等確率で発生するので、
全試合結果は 2⁶ = 64通りです。
だから、1位の勝ち数で場合分けして数えて、
合計が64通りになれば漏れはないことが確認できます。
・1チームが3勝0敗：
3勝するチームの選び方が、4C1通り
1チームが3勝した以外の3試合の結果が、2³通り
よって、この試合結果は、4C1 x 2³ = 32通り
・2チームが2勝1敗：
2勝するチームの選び方が、4C2通り
2勝チーム同士は1回戦っているので、その時の勝者の選び方が2通り
この勝者のもう1勝の相手の選び方が2通り
ここまで決まると、他の試合結果は1通りに決まります。(*)
よって、この試合結果は、4C2 x 2 x 2 = 24通り
・3チームが2勝1敗：
2勝するチームの選び方が、4C3通り
2勝した3チームのうち1チームが1敗する相手の選び方が、2通り
ここまで決まると、他の試合結果は1通りに決まります。(*)
よって、この試合結果は、4C3 x 2 = 8通り
以上の3つの試合結果の合計は 32+24+8=64通りで
数え漏れがないことがわかるので、確率の計算をすると、
1チームが3勝0敗の確率は 32/64 = 4/8
2チームが2勝1敗の確率は 24/64 = 3/8
3チームが2勝1敗の確率は 8/64 = 1/8
求める期待値は、1位のチーム数×確率の総合計なので、
1x4/8 + 2x3/8 + 3x1/8 = (4+6+3)/8 = 13/8
(*)
この解き方では、どこまで決まると他の試合結果が1通りに決まるかを
見極めるのがちょっと難しいです。
【まず4試合行なって、残りの2試合だけ考える】
まず4チームを2チームずつ2組に分けて対戦させると、
1勝0敗が2チーム、0勝1敗が2チームになります。
次に、1勝0敗同士、0勝1敗同士で対戦させると、
2勝0敗が1チーム、1勝1敗が2チーム、0勝2敗が1チームになります。
これで4試合行なったので、残りは2試合ですが、
その組合せは以下の2通りで、どちらになるかは1/2の確率です。
Ａ
A-1. 2勝0敗チーム 対 0勝2敗チーム
A-2. 1勝1敗チーム 対 1勝1敗チーム
Ｂ
B-1. 2勝0敗チーム 対 1勝1敗チーム
B-2. 0勝2敗チーム 対 1勝1敗チーム
まずＡでは、
A-1で2勝0敗チームが勝つと勝ち数3で1位になります。
この確率は、Ａが選ばれ、2勝0敗チームが勝つので、
1/2x1/2 = 1/4…①
A-1で2勝0敗チームが負けると勝ち数2、
A-2で1勝1敗チーム同士の勝者も勝ち数2になるので、
勝ち数2の2チームが1位になります。
この確率は、Ａが選ばれ、2勝0敗チームが負けるので、
1/2x1/2 = 1/4…②
次にＢでは、
B-1で2勝0敗チームが勝つと勝ち数3で1位になります。
この確率は、Ｂが選ばれ、2勝0敗チームが勝つので、
1/2x1/2 = 1/4…①
B-1で2勝0敗チームが負けると勝ち数2、
その対戦相手も勝ち数2です。
B-2で0勝2敗チームが負けると、
その対戦相手が勝ち数2になるので、
勝ち数2の3チームが1位になります。
この確率は、Ｂが選ばれ、2勝0敗チームが負け、0勝2敗チームが負けるので
1/2x1/2x1/2 = 1/8…③
B-2で0勝2敗チームが勝つと、
その対戦相手も1位になれないので、
勝ち数2の2チームが1位になります。
この確率は、Ｂが選ばれ、2勝0敗チームが負け、0勝2敗チームが勝つので
1/2x1/2x1/2 = 1/8…②
以上をまとめると、
勝ち数3の1チームが1位の確率は①の合計で、1/4+1/4=4/8
勝ち数2の2チームが1位の確率は②の合計で、1/4+1/8=3/8
勝ち数2の3チームが1位の確率は③の合計で、1/8
求める期待値は、1位のチーム数×確率の総合計なので、
1x4/8 + 2x3/8 + 3x1/8 = (4+6+3)/8 = 13/8
＞これはどう導けばいいですか？
1位のチームの勝ち数だけなら簡単です。
4チームあるので、全部の試合数は 4C2=6試合です。
だから勝ち数の合計も6で、これを4チームで分けると考えればいいです。
まず、最大の勝ち数は3ですが、
この場合は1位のチームが全勝しているので、
1チームだけです。
次に勝ち数が2の場合は、勝ち数の合計の6を
(2,2,1,1)と(2,2,2,0)に分ける2通りなので、
1位のチームは2チームか3チームです。
そして、勝ち数が1以下だと1位になれないので、
1位のチーム数は、勝ち数3の場合は1チーム、
勝ち数2の場合は2チームか3チームの3通りということです。
ただ、難しいのは、その結果になる確率の計算なので、
その考え方を2つ書いておきます。
【勝ち数で場合分け】
4チームのリーグ戦なので、全試合数は、4C2 = 6試合。
そして、各試合ごとに2通りの結果が等確率で発生するので、
全試合結果は 2⁶ = 64通りです。
だから、1位の勝ち数で場合分けして数えて、
合計が64通りになれば漏れはないことが確認できます。
・1チームが3勝0敗：
3勝するチームの選び方が、4C1通り
1チームが3勝した以外の3試合の結果が、2³通り
よって、この試合結果は、4C1 x 2³ = 32通り
・2チームが2勝1敗：
2勝するチームの選び方が、4C2通り
2勝チーム同士は1回戦っているので、その時の勝者の選び方が2通り
この勝者のもう1勝の相手の選び方が2通り
ここまで決まると、他の試合結果は1通りに決まります。(*)
よって、この試合結果は、4C2 x 2 x 2 = 24通り
・3チームが2勝1敗：
2勝するチームの選び方が、4C3通り
2勝した3チームのうち1チームが1敗する相手の選び方が、2通り
ここまで決まると、他の試合結果は1通りに決まります。(*)
よって、この試合結果は、4C3 x 2 = 8通り
以上の3つの試合結果の合計は 32+24+8=64通りで
数え漏れがないことがわかるので、確率の計算をすると、
1チームが3勝0敗の確率は 32/64 = 4/8
2チームが2勝1敗の確率は 24/64 = 3/8
3チームが2勝1敗の確率は 8/64 = 1/8
求める期待値は、1位のチーム数×確率の総合計なので、
1x4/8 + 2x3/8 + 3x1/8 = (4+6+3)/8 = 13/8
(*)
この解き方では、どこまで決まると他の試合結果が1通りに決まるかを
見極めるのがちょっと難しいです。
【まず4試合行なって、残りの2試合だけ考える】
まず4チームを2チームずつ2組に分けて対戦させると、
1勝0敗が2チーム、0勝1敗が2チームになります。
次に、1勝0敗同士、0勝1敗同士で対戦させると、
2勝0敗が1チーム、1勝1敗が2チーム、0勝2敗が1チームになります。
これで4試合行なったので、残りは2試合ですが、
その組合せは以下の2通りで、どちらになるかは1/2の確率です。
Ａ
A-1. 2勝0敗チーム 対 0勝2敗チーム
A-2. 1勝1敗チーム 対 1勝1敗チーム
Ｂ
B-1. 2勝0敗チーム 対 1勝1敗チーム
B-2. 0勝2敗チーム 対 1勝1敗チーム
まずＡでは、
A-1で2勝0敗チームが勝つと勝ち数3で1位になります。
この確率は、Ａが選ばれ、2勝0敗チームが勝つので、
1/2x1/2 = 1/4…①
A-1で2勝0敗チームが負けると勝ち数2、
A-2で1勝1敗チーム同士の勝者も勝ち数2になるので、
勝ち数2の2チームが1位になります。
この確率は、Ａが選ばれ、2勝0敗チームが負けるので、
1/2x1/2 = 1/4…②
次にＢでは、
B-1で2勝0敗チームが勝つと勝ち数3で1位になります。
この確率は、Ｂが選ばれ、2勝0敗チームが勝つので、
1/2x1/2 = 1/4…①
B-1で2勝0敗チームが負けると勝ち数2、
その対戦相手も勝ち数2です。
B-2で0勝2敗チームが負けると、
その対戦相手が勝ち数2になるので、
勝ち数2の3チームが1位になります。
この確率は、Ｂが選ばれ、2勝0敗チームが負け、0勝2敗チームが負けるので
1/2x1/2x1/2 = 1/8…③
B-2で0勝2敗チームが勝つと、
その対戦相手も1位になれないので、
勝ち数2の2チームが1位になります。
この確率は、Ｂが選ばれ、2勝0敗チームが負け、0勝2敗チームが勝つので
1/2x1/2x1/2 = 1/8…②
以上をまとめると、
勝ち数3の1チームが1位の確率は①の合計で、1/4+1/4=4/8
勝ち数2の2チームが1位の確率は②の合計で、1/4+1/8=3/8
勝ち数2の3チームが1位の確率は③の合計で、1/8
求める期待値は、1位のチーム数×確率の総合計なので、
1x4/8 + 2x3/8 + 3x1/8 = (4+6+3)/8 = 13/8