高校数学の因数分解について
a^3-b^3 = (a+b)(a^2+ab+b^2)
の証明はどうすればいいのでしょうか？
(a+b)((a^2+ab+b^2))を展開すればa^3-b^3になる、というのではなくて、a^3-b^3 に当てはまる式(a^3-64など)が与えられたときに自力で因数分解できるようになる方法が知りたいです
係数をA、B、Cなどと置いていく方法も考えましたが、試験だと時間がかかりすぎます・・
高校数学の因数分解について
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Re: 高校数学の因数分解について
a³-b³
=a³-a²b+a²b-b³
=a²(a-b)+b(a²-b²)
=a²(a-b)+b(a+b)(a-b)
=(a-b){a²+b(a+b)}
=(a-b)(a²+ab+b²)
a³-64
=a³-4a²+4a²-64
=a²(a-4)+4(a²-16)
=a²(a-4)+4(a+4)(a-4)
=(a-4){a²+4(a+4)}
=(a-4)(a²+4a+16)
すぐにa=bという一つの解が求まるはずです。
a=bが解であるためには左辺は(a-b)を因数に持っていないといけません。(a=bを代入したときに(a-b)の部分が0になって左辺が0になるから)
つまり
a³-b³=(a-b)*(何か)
とあらわせるはずです。
あとは適当に埋めていくだけです。
a³³が出てくるにはa³がある必要があり、同様に-b³が出てくるにはb²が必要です
a³-b³=(a-b)(a²+b²+何か)
しかしa²とb²を入れたために展開したときに余計なab²-a^²b が出てきてしまいます。しかし
ab²-a²b=-ab(a-b)
であることを踏まえれば、「何か」の部分に+abをいれることでこの余分を相殺できることがわかります(相殺するため-abでなく+ab)
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
これで出せます。
=a³-a²b+a²b-b³
=a²(a-b)+b(a²-b²)
=a²(a-b)+b(a+b)(a-b)
=(a-b){a²+b(a+b)}
=(a-b)(a²+ab+b²)
a³-64
=a³-4a²+4a²-64
=a²(a-4)+4(a²-16)
=a²(a-4)+4(a+4)(a-4)
=(a-4){a²+4(a+4)}
=(a-4)(a²+4a+16)
すぐにa=bという一つの解が求まるはずです。
a=bが解であるためには左辺は(a-b)を因数に持っていないといけません。(a=bを代入したときに(a-b)の部分が0になって左辺が0になるから)
つまり
a³-b³=(a-b)*(何か)
とあらわせるはずです。
あとは適当に埋めていくだけです。
a³³が出てくるにはa³がある必要があり、同様に-b³が出てくるにはb²が必要です
a³-b³=(a-b)(a²+b²+何か)
しかしa²とb²を入れたために展開したときに余計なab²-a^²b が出てきてしまいます。しかし
ab²-a²b=-ab(a-b)
であることを踏まえれば、「何か」の部分に+abをいれることでこの余分を相殺できることがわかります(相殺するため-abでなく+ab)
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
これで出せます。