平面方程式の導出のついて

[ゲスト]

ax+by+cz+d=0
というのがありました。
で、この平面の方程式は、点A(x1，y1，z1)を通りベクトルv=(a，b，c)に垂直な平面を表していますが、
コレが表す平面は、平行四辺形なんですか？三角形なんですか？
いや、その前に、面積は無限に大きい平面のことなんですか？
「ある3点を通る」平面だったら、三角形という事ですか？

また、
今読んでる本には、点と平面の距離についても書いてありました。
点A(x1，y1，z1)と平面ax+by+cz+d=0の距離は、
|ax1+by1+cz1+d|/√a^2+b^2+c^2
である。
これは、点と直線の距離の式と見比べたら、あぁ確かにこうなんだろうなぁとは感じます。
また、証明も書いてありました。

(証明)点A(x1，y1，z1)を通り、平面ax+by+cz+d=0・・・①に垂直な直線は、
x-x1/a=y-y1/b=z-z1/c・・・②
②の(各辺)=tとおくと、
x=x1+at，y=y1+bt，z=z1+ct・・・③
③を①に代入して、tを求めると、
t=-(ax1+by1+cz1+d)/a^2+b^2+c^2・・・④
①，②の交点の座標Hはの座標は、④のｔに対応する③で与えられるから、
AH^2=(x1+at-x1)^2+(y1+bt-y1)^2+(z1+ct-z1)^2=(ax1+by1+cz1+d)^2/a^2+b^2+c^2
AH>0より、
|ax1+by1+cz1+d|/√a^2+b^2+c^2

この証明の
①，②の交点の座標Hはの座標は、④のｔに対応する③で与えられるから、
AH^2=(x1+at-x1)^2+(y1+bt-y1)^2+(z1+ct-z1)^2
の意味が分かりません。。。解説よかったらしてください。。。
よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

1.「ある3点を通る平面」について
「ある3点を通る平面」という表現なら、無限に広がっていると解釈します。
あと、気になったことですが、「$ax+by+cz+d=0$」の表す平面が、$\vec{v}=(a，b，c)$に垂直だということはいえますが、$点A(x_1，y_1，z_1)$を通るかどうかは見た目にはまだいえません。点$A(x_1，y_1，z_1)$を通りベクトル$\vec{v}=(a，b，c)$に垂直な平面なら、$a(x－x_1)+b(y－y_1)+c(z－z_1)=0$ となります。

2.点$A(x_1，y_1，z_1)$と平面$ax+by+cz+d=0$の距離について
まず、確認しておきますが、こういうことを考える場合は、点$A$は平面$ax+by+cz+d=0$上にはありません。（平面上にあるなら距離は$0$だからです）
それゆえ、方針としては、$A$から平面に垂線を下ろし、その交点$H$を求め、$AH$の長さを求めることで点$A$と平面の距離が得られることになります。

つまり、$A$を通り平面に垂直な直線の方程式を求め、平面の方程式と連立して$H$を求めることが目標になります。高校では発展的な内容になりますが、空間図形における直線の方程式は②で与えられます。もし、その処理がわかりにくいなら、$A$を通り、$\vec{v}=(a，b，c)$と平行な直線のベクトル方程式を立てて、その成分表示を得てもいいでしょう。$\vec{p}=(x_1，y_1，z_1)+t(a，b，c)$です。
それを①に代入して得られた$t$をもどすと、$Ｈ$の座標が得られます。

あとは、$A(x_1，y_1，z_1)とＨ(x_1+ta，y_1+tb，z_1+tc)$の距離を求めているだけです。