無限級数について

[ゲスト]

2-3/2+3/2-4/3+4/3-5/4+・・・
の無限級数の収束発散を調べて、収束する場合はその値を求めよ。

という問題の解説をお願いします。

奇数項、偶数項それぞれの部分和数が定数ならば、何故収束ではないのですか?

[ゲスト]

まず、場合分けをします。
(ⅰ)奇数項までの部分和を考えて
S 2n-1=2より
lim【n→∞】S 2n-1=2
(ⅱ)偶数項までの部分和を考えて
S 2n=2-(n+2)/(n+1)より
lim【n→∞】S 2n
=lim【n→∞】2-(1+2/n)/(1+1/n)
=2-1=1
(ⅰ)(ⅱ)より、極限が異なるので、この無限級数は発散する。
（もしこの様な問題で場合わけした結果、極限が一致する場合はその一致した値にその無限級数は収束するという事になります。）

補足
奇数項、偶数項それぞれの部分和ではなく、
奇数項、偶数項『までの』部分和なので、
例えば、１項目『までの』和が、「２」です。
次に２項目『までの』和が「2-3/2」です。
また３項目『までの』和が「２」です。
このようにして、どんどん続けていくと、
偶数項目『まで』の和が「２」で一定
奇数項目『まで』の和が「１」に収束
なので、無限級数（和）が、無限項まで
（無限というのは、とても大きい数という意味ではなく限りなく『大きい』という概念なので、
『項』という表現は正しくないのですがわかりやすいので、こう呼ぶ事にします。）
足し考えていくと、『２』『１』が、それぞれ交互に出てくるというのも
正しい表現では無いのですが、すなわち振動するというのが直感的に
分かると思います。
この様に無限の概念については、定義が曖昧なだけに言葉で説明するのが非常に難しいです。(^。^;)

ちなみに、watayans30さんの様に、『数列が０に収束しないならば、無限級数は発散』
というのを用いるのも良いと思います。（これは『無限級数が収束するならば、数列は０に収束する』
の対偶を考えたものです。もう知っているかもしれませんが(^。^;)）
一応、極限の考え方を理解するという意味で今回の様な回答をさせて頂きました。