場合の数の考え方について

[ゲスト]

この問題の解き方を教えてください。
裏向きに並んだ4枚のカードがあり、それぞれのカードの表には数字の0, 1, 2, 3が書かれています。これらのカードはある順番で並べられており、プレイヤーはその正しい順番を知りません。プレイヤーは運営に対して、カードの並び順の候補を1つ提示します（例：「右端から1, 0, 2, 3」）。運営は、プレイヤーの提示した順番と実際の順番を比較し、正しい位置にある数字の個数を返答します。たとえば、実際の順番が「右端から2, 1, 0, 3」で、プレイヤーが「右端から1, 0, 2, 3」と答えた場合、運営は「1」と返します。プレイヤーが論理的な戦略を用いるとした場合、最悪でも何回の質問で正しい順番を確定できるでしょうか？

[ゲスト]

まず、この問題のルールを整理しますね。使うカードは数字の「0、1、2、3」の4枚です。これらを1列に並べて、裏返しておきます。プレイヤーは、どのカードがどこにあるのかは見えません。

プレイヤーの目的は、この4枚のカードがどんな順番で並んでいるのかを当てることです。ただし、運営にできる質問は1つだけの形式です。「この順番だと思います」と並びを1つ提示して、それが正解とどれだけ合っているか（場所も数字も一致している数）を教えてもらう、という仕組みです。

例えば、カードの正しい並びが「右端から2, 1, 0, 3」だったとして、プレイヤーが「右端から1, 0, 2, 3」と答えたとします。このとき「場所と数字が一致しているカード」は「3」だけなので、運営の答えは「1」になります。

ここで大事なのは、プレイヤーが毎回もらえるのは「何枚正解か」だけで、「どの位置が正しいか」は教えてもらえないという点です。だから、1回の質問で全てがわかることはまずありません。プレイヤーは複数回の質問を通して、だんだんと答えをしぼっていく必要があります。

さて、次に考えるのは「全部で何通りの並び方があるのか」です。0、1、2、3のカードを1列に並べる方法は、4!（4の階乗）で 24通り あります。

つまり、プレイヤーはこの24通りのうち1つを正解として当てなければなりません。

ここで、「どんなに悪くても何回質問すれば正解にたどりつけるのか」を考えます。すべての可能性を1つずつ試すと、最悪で24回かかってしまいます。しかしそれでは効率が悪すぎます。論理的にうまくやれば、もっと少ない質問で正解にたどりつけます。

この問題は「マスターマインド」と呼ばれるゲームととても似ています。マスターマインドは、色や数字の並びを質問とヒントで当てるゲームで、世界中で研究がされています。

実際にこのような「並びを当てる」ゲームでは、どう質問を選ぶかを戦略的に考えることで、全ての可能性を一度に大きく減らすことができます。

例えば、最初の質問で「0, 1, 2, 3」と並べて出してみると、それに対する正解の数（0〜4）で、残る可能性の順列が一気に半分くらいまで減ることもあります。そして次の質問では、残った候補の中から、どんな質問をすれば一番たくさんの候補を消せるかを考えて選びます。

こうして戦略的に質問を重ねていくと、すべてのケースを考慮しても、最悪でも5回の質問で正しい順番を一意に確定できることが、研究によって証明されています。

つまり、24通りしかないこの問題では、うまくやれば5回あれば必ず答えがわかるということです。

結論として、「最悪でも5回の質問で正しい並び順を確定できる」が答えです