AB=4かつAD=8である長方形ABCDがある。
2つの動点P,Qがある。
点Pは長方形ABCDの辺上を毎秒3の速さでA→B→C→Dの順で進む。
点Qは長方形ABCDの辺上を毎秒2の速さでA→D→C→Bの順で進む。
2点P,Qが出会ったところで移動を止める。
三角形APQの面積が最大になるのは2点P,Qがスタートから何秒後か？
関数と図形の複合問題
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Re: 関数と図形の複合問題
長方形ABCD（AB＝4、AD＝8）を座標平面上に
A＝(0,0)、B＝(4,0)、C＝(4,8)、D＝(0,8)
と置くと、
– 点PはA→B→C→Dの順に速さ3で移動し、時刻tでの周上の距離は sₚ＝3t
– 点QはA→D→C→Bの順に速さ2で移動し、時刻tでの周上の距離は s_q＝2t
2点が出会うのは周長24を合計で動いたとき、すなわち
3t＋2t＝24 → t＝4.8秒
三角形APQの面積S(t)を区間ごとに計算すると
(1) 0≦t≦4/3
PはAB上 → P＝(3t,0)
QはAD上 → Q＝(0,2t)
S(t)＝½×(3t)×(2t)＝3t²（単調増加）
(2) 4/3≦t≦4
PはBC上 → P＝(4,3t−4)
QはAD上 → Q＝(0,2t)
S(t)＝½×4×(2t)＝4t（単調増加）
(3) 4≦t≦4.8
PはCD上 → P＝(16−3t,8)
QもCD上 → Q＝(2t−8,8)
底辺PQ＝24−5t、高さ＝8
S(t)＝½×(24−5t)×8＝96−20t（単調減少）
以上より、S(t)はt＝4で最大値（16）をとる。
したがって、三角形APQの面積が最大になるのは
スタートから4秒後 です。
A＝(0,0)、B＝(4,0)、C＝(4,8)、D＝(0,8)
と置くと、
– 点PはA→B→C→Dの順に速さ3で移動し、時刻tでの周上の距離は sₚ＝3t
– 点QはA→D→C→Bの順に速さ2で移動し、時刻tでの周上の距離は s_q＝2t
2点が出会うのは周長24を合計で動いたとき、すなわち
3t＋2t＝24 → t＝4.8秒
三角形APQの面積S(t)を区間ごとに計算すると
(1) 0≦t≦4/3
PはAB上 → P＝(3t,0)
QはAD上 → Q＝(0,2t)
S(t)＝½×(3t)×(2t)＝3t²（単調増加）
(2) 4/3≦t≦4
PはBC上 → P＝(4,3t−4)
QはAD上 → Q＝(0,2t)
S(t)＝½×4×(2t)＝4t（単調増加）
(3) 4≦t≦4.8
PはCD上 → P＝(16−3t,8)
QもCD上 → Q＝(2t−8,8)
底辺PQ＝24−5t、高さ＝8
S(t)＝½×(24−5t)×8＝96−20t（単調減少）
以上より、S(t)はt＝4で最大値（16）をとる。
したがって、三角形APQの面積が最大になるのは
スタートから4秒後 です。