極限値が分かりません

[ゲスト]

・質問内容
（1）と（4）が分かりません。
（1）はなんで答えがー∞になるのかが分かりません。
（4）は有理化したあとxを∞に近づけるとなんで＋∞になるのかが分かりません。
・分かったところ
（1）はx→+0のときx ＞0となるところまで分かります。
（4）は有理化するところまで分かります。

よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

（１）も（４）も数式だけではイメージしにくいと思うので、グラフにして考えてみましょう。

まず問題を解く前にlogの底（てい）が１よりも小さい時と大きい時でどんなグラフになるか見ていきましょう。

たとえば底（てい）がaのy=logxという関数をグラフにすると添付①のようになります。

ここから分かるのは、底（てい）が１よりも小さければ減少関数、１よりも大きければ増加関数になるということです。

この前提から問題を解いていきましょう。

（１）
問題文を下記のような関数で考えてみましょう。
\begin{equation}
y=log_{3}x
\end{equation}
これをグラフにすると添付②のようになります。
このグラフが書けないという人は、具体的に数値を代入してみましょう。
たとえばxにいろんな数字を入れていくと下記のようになります。
\begin{equation}
x=3のときy=3
\end{equation}
\begin{equation}
x=1のときy=0
\end{equation}
\begin{equation}
x=1/3のときy=-1
\end{equation}
これらからも、だいたい添付②のようなグラフになることがイメージできますよね。

ですので、xをプラス側から0に近づけていくと答えは-♾️となります。


（４）
このままだと分かりにくいので、次のような関数を考えてみましょう。
\begin{equation}
y=\log_{\frac{1}{2}}\frac{2}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}
\end{equation}

これでもよく分からない関数ですよね。
まずは分数を変形しましょう。変形の公式は次のとおりです。
\begin{align}
y &=\log_{a}\frac{c}{b} \\
&=\log_{a}c-\log_{a}b
\end{align}
上記から元の式を変形すると以下のようになります。
\begin{align}
y &= \log_{\frac{1}{2}}2-\log_{\frac{1}{2}}[{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}] \\
&= \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}^{-1}-\log_{\frac{1}{2}}[{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}] \\
&= -1-\log_{\frac{1}{2}}[{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}] \\
\end{align}

さらに見やすくするため底（てい）を変換してみましょう。
おさらいですが、底（てい）の変換は次のような式変形です。
\begin{equation}
log_{a}b=\frac{log_{c}{b}}{log_{c}{a}}
\end{equation}
ですので以下のようになります。
\begin{align}
y &=-1-\log_{\frac{1}{2}}[{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}] \\
&=-1- \frac{\log_{2} [\sqrt{x+2} + \sqrt{x}]}{\log_{2} \frac{1}{2}} \\
&=-1- \frac{\log_{2} [\sqrt{x+2} + \sqrt{x}]}{\log_{2} 2^{-1}} \\
&=-1 +{\log_{2} [\sqrt{x+2} + \sqrt{x}]}
\end{align}
すると少し見やすくなった関数になりました。

ここでも具体的に数字を入れてみましょう。
x=0のとき
\begin{align}
y &=-1 +{\log_{2} [\sqrt{0+2} + \sqrt{0}]} \\
& =-1 +{\log_{2}\sqrt{2}} \\
& =-1 +{\log_{2}2^{\frac{1}{2}}} \\
& =-1 +\frac{1}{2} \\
& =-\frac{1}{2} \\
\end{align}

x=1のとき
\begin{align}
y &=-1 +{\log_{2} [\sqrt{1+2} + \sqrt{1}]} \\
& =-1 +{\log_{2}[\sqrt{3}+1]} \\
\end{align}

すると添付③のようなグラフができますよね。

ですのでxを＋♾️にすると答えは＋無限大となります。

式だけでわかりにくい問題は、グラフや図にして考えると糸口が見えることがあります。
ぜひチャレンジしてみてください。

[ゲスト]

（１）の関数が間違えておりました。
正しくは下記の通りです。
\begin{equation}
y=log_{3}x^3
\end{equation}