等式の変形について

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自力で解いた際には、ノートにあるように、左辺と右辺の最小最大を比べることで、常に与式が成立することをしめせると期待して計算しました。それで上手くいかなかったので、左辺と右辺の式をうまく組み合わせて一つの式にするのだと思いますが、やり方がわかりません。主にわからない理由として、なんとなくの式の完了系はわかるのですが、a の値が完全な乱数であり論証に破綻なく一般化する方法が分かっていないからだと思います。解答はまだ貰えていないのでないのですが、よろしくお願いします。