三次関数の問題です。

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三次関数の問題です。わからないので教えていただきたいです。

xについての3次関数f(x)が条件
xf'(x)=3f(x)+2x, f(1)=1
を満たすとき、次の問いに答えよ。
(1)関数 f(x) を求めよ。
(2)関数 g(x)=∫[√2/2→x]f(t)dt を求めよ。
(3)(2)のg(x)について、方程式 g(x)=k の異なる実数解の個数を、定数kの値により場合分けして答えよ。

[ゲスト]

f(x)=ax³+bx²+cx+d
とする
f'(x)=3ax²+2bx+c
x(3ax²+2bx+c)=3(ax³+bx²+cx+d)+2x
3ax³+2bx²+cx=3ax³+3bx²+(3c+2)x+3d
これが恒等式であるから、
2b=3b, c=3c+2, 0=3d
∴b=0, c=-1, d=0
f(1)=a-1=1より、
a=2

∴f(x)=2x³-x

g(x)=[t⁴/2-t²/2]√2/2→x
=x⁴/2-x²/2+1/8

g'(x)=2x³-x=x(2x²-1)
g'(x)=0となるのは、x=0, ±√2/2のとき

....x│…│-√2/2│…│..0..│…│√2/2│…
──────────────────
g'(x)│−│...0...│＋│..0..│−│...0...│＋
──────────────────
g(x)│↘│...0...│↗│1/8│↘│...0..│↗

g(x)=kについて、
k＜0のとき実数解なし
k=0のとき実数解2個
0＜k＜1/8のとき実数解4個
k=1/8のとき実数解3個
k＞1/8のとき実数解2個