微分の応用問題について質問があります

[ゲスト]

数学の次の問題について。
f(x)=ax^3+bx^2+cx+dが、x=0で極大値2をとり、x=2で極小値-6をとるとき、定数a,b,c,d の値を求めよ。 f(0)=2, f(2)=-6, f’(0)=0, f’(2)=0 •••①となるので、このことより、a=2,b=-6,c=0,d=0
となり、解答ではこのような時の三次関数が本当に条件を満たすのか、逆の確認を行なっています。

しかし、自分はこの逆の確認が必要ないと思います。
だって、①の条件を満たす三次関数は一つの形に確定されて、そのグラフは問題の条件を満たしてることになるから、求めたい答えとなる。
これはいたって、当たり前のことじゃないですか？
それを、わざわざ記述する必要あるのですかね？
また、そうであるならばそれを言葉で説明するより、実際に①のときの三次関数を求めて、もう求めたいものに適しているかを確認する方が簡単だから、このようなことをしてるのですか？

自分は説明するとしても、①を満たす三次関数は一つに確定され、それは条件を満たすから、
こんなんでいいと思うのですがどうですか？よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

確かにx=0で極大値2をとり、x=2で極小値-6をとるかどうか確認作業が必要です。それらのxの前後でf'(x)が符号を変えるかどうかです。
あくまで必要条件での解き方だからですね。ご確認をお願いします。

[ゲスト]

ご返信ありがとうございます。
> それらのxの前後でf'(x)が符号を変えるかどうかです。
この部分をもう少し詳しく説明できませんか？

[ゲスト]

極値の定義では
f'(x)=0の根例えば
ｘ＝tの前後で符号を変えるかどうかです。変えなければそこで極値は取らない
f(x)=x³ 　f'(x)=3x²
　　x＝0の前後で符号が変わらない。だからx＝０では極値を取らない。
　だから先ほど
実際x=0,x=2で極値を取るか確かめる必要がると書いたのです。
ご確認をお願いいたします。

[ゲスト]

ご返信ありがとうございます。
少し理解できました。
確かに、f’(x)=0となるからといって、そのときのxが極値になるとは限りませんね。
ただこれは一つで考えた場合で、質問の問題のように、
f(0)=2, f(2)=-6, f’(0)=0, f’(2)=0 を満たす時は、f’(0)=0 かつf’(2)=0を満たしており、三次関数において異なるxで、微分したものが0となるのが、２つあるとき、極値を持つしかない。となると思うのですが、ここの認識がおかしいのですかね？

[ゲスト]

いやおかしくないがそれをちゃんと説明しないとだめなのです。
極値はいつもその前後でf'(x)の符号が変わるかどうかが問題なのであり
そこでf'(x)が０になるかどうかは別問題です。

そもそもですが
極値の定義として
関数ｙ＝ｆ（ｘ）がｘ＝aで極値を持つならば
ｆ’（a）＝0が成り立つ
しかし　その逆は　成り立たない
これは　暗記すべき事項です
あなたが解いている問題の解答では
極値の定義の逆（本当は成り立たない）を使って解いてるに
すぎません
なので　必ずｘ＝aで極値を持つならば
ｆ’（a）＝0が成り立つ　を確認する必要があります
数学Ⅲの微分では　三角関数や指数対数関数の極値も扱うので　この定義が重要になることが
嫌というほど知らされることになりますので
今のうちにしっかり勉強しておいてください

[ゲスト]

なんとなくの理解はできました。確かに、f’(x)=0となるxが極値になるとは限りません。
しかし、質問の問題において、
f(0)=2, f(2)=-6, f’(0)=0, f’(2)=0 となるとき、f’(0)=0 かつ f’(2)=0を満たし、
三次関数において、自分して0になるものが二つあるとき、極値を持つしかないとなるので、やはり極値が持つことが保証されると思うのですが、この認識がおかしいのでしょうか？

[ゲスト]

今回はそのような認識でも構いませんが
すべての関数にそのような認識が
当てはまることはないので
注意をしてください。
解答でも　必ず確認しておいた方が
無難ですね