数列の基礎問題と漸化式は、ある程度分かっているつもりなのですが、確率と絡むのが理解できません。
問題
表の出る確率が1/3である硬貨を投げて、表が出たら点数を1点増やし、裏が出たら点数はそのままとするゲームを行う。0点の持ち点で初めて、硬貨をn回投げた後、点数が偶数である確率をPnとするとき、Pn…1とPnの漸化式を作り、Pnをを求めよ。
n回投げた時を偶数点の時と奇数点の時で場合分けするところまでは分かるのですが、そこからがさっぱり考え方が分かりません。詳しく教えてくれないでしょうか。
確率と漸化式について
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ゲスト
Re: 確率と漸化式について
$n$回投げたときに点数が偶数であるのは
[1]$(n-1)$回投げて点数が偶数(確率$P_{n-1}$)であり、裏（確率$\frac{2}{3}$)が出る
[2]$(n-1)$回投げて点数が奇数(確率$1-P_{n-1}$)であり、表（確率$\frac{1}{3}$)が出る
の二つの場合があり、
[1]と[2]は同時に起こらないから、
$P_n$を$P_{n-1}$で表すと漸化式
\[P_n=\frac{2}{3}P_{n-1}+\frac{1}{3}(1-P_{n-1})\]
\[=\frac{1}{3}P_{n-1}+\frac{1}{3} \]
を$P_1=\frac{2}{3}$の条件で解くと答えが出ます
[1]$(n-1)$回投げて点数が偶数(確率$P_{n-1}$)であり、裏（確率$\frac{2}{3}$)が出る
[2]$(n-1)$回投げて点数が奇数(確率$1-P_{n-1}$)であり、表（確率$\frac{1}{3}$)が出る
の二つの場合があり、
[1]と[2]は同時に起こらないから、
$P_n$を$P_{n-1}$で表すと漸化式
\[P_n=\frac{2}{3}P_{n-1}+\frac{1}{3}(1-P_{n-1})\]
\[=\frac{1}{3}P_{n-1}+\frac{1}{3} \]
を$P_1=\frac{2}{3}$の条件で解くと答えが出ます