確率の最大値についてわからない部分があります

[ゲスト]

【問題】「白玉５個、赤玉ｎ個の入っている袋がある。この袋の中から、２個の玉を同時に取り出すとき、白玉１個、赤玉１個である確率をｐｎで表すことにする。ただし、ｎ≧１とする。」
（1）ｐ
ｎを求めよ。（2）ｐｎを最大にするｎを求めよ。
【質問】
(2)が解説を読んでもわかりません。赤線のような式の形にした意図や、なぜ赤線から青線の形にしたのかよくわかりません。解説お願いいたします。

[ゲスト]

pnが最大になるとき
p1<p2<…<p(n-1)<pn>p(n+1)>p(n+2)>…
が成り立つのでこれをpnで割ると
(p1/pn)<(p2/pn)<…<(p(n-1)/pn)<1>(p(n+1)/pn)
>(p(n+2)/pn)>…
となります。

よってpnが最大になるnはpnとp(n-1)またはp(n+1)の値が
最も近くなるようなnになります。

よってpn=p(n+1)⇔p(n+1)/pn=1となるnを調べてみると
p(n+1)/pn=(n+1)(n+4)/n(n+6)=1
∴n^2+5n+4=n^2+6n
∴n=4
∴p4=p5
となるので
(p1/p4)<(p2/p4)<(p3/p4)<(p4/p4)=1=(p5/p4)>(p6/p4)
>(p7/p4)>…
となるのでこれにp4をかけると
p1<p2<p3<p4=p5>p6>p7>…
となり、n=4,5のときにpnが最大になることが分かります。

したがってp(n+1)/pnまたはp(n-1)/pnを求めることがポイント
で赤線や青線のように変形する必要は特にありませんね。



※ちなみにpnの最大値が知りたいので直接調べてみてももちろん
おｋですが、(1)よりpnは分数式なので数Ⅲの微積分が必要に
なり文系では手に負えなくなります。それでnがとびとびである
こと(離散性と言います)を利用して隣接2項間の分数をとって
調べているわけです。

なお、本問は別解として相加相乗平均の関係を用いることができます。

(1)より
pn=10n/(n^2+9n+20)=10/(n+(20/n)+9)
となるので相加相乗平均の関係より
n+20/n≧2√20
が成り立ちます。

よってpnはn=20/n⇔n=√20のとき最大となることが分かりますが
nは自然数なので4<√20<5よりn=4,5が最大の候補になります。

すると上記よりp4=p5=5/9なのでこれが最大値となり求めるnの値は
n=4,5となります。