1997年一橋大学後期の数学の問題です。
通過領域を図示する問題なのですが、解説をみてもしっくりきません。
特に、xについて場合分けしたあとの値域の考え方のところです。
どなたか教えていただきたいです。よろしくお願いします。
1997年一橋大学後期の数学の問題です。
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Re: 1997年一橋大学後期の数学の問題です。
f（x）＝x^3－3a^2x+a^2より、
f´（x）＝3x^2－3a^2＝3*（x+a）*（x－a）となり、
これはa≠0より極値を持つ。
増減表を書くと、0<a<1から、x＝aで極小、x＝－aで極大となる。
即ち、曲線：y＝x^3－3a^2x+a^2 ‥‥①の、｜x｜＜a ‥‥②の部分の通過領域を求める事になる。
そのためには、①より、（a＾2）*（1－3x）＝y－x^3 ‥‥③であり、
条件から0＜a＜1であるから、 その条件の下で曲線③の動き得る領域を求めると良い。
③より
・1－3x＝0の時、0＝y－x^3より 点（1/3、1/27）‥‥④
・1－3x≠0の時、a＾2＝（y－x^3 ）/（1－3x）となり、
0＜a＜1より、0＜（y－x^3 ）/（1－3x）＜1.‥‥⑤
これは、 3x＞1の時、x＾3－3x＋1＜y＜－2x＾3＋x＾2。
3x＜1の時、x^3＜y＜x＾3＋3x－1
又、 ②より ｜x｜＜a、0＜a＜1であるから、｜x｜＜1、and、x≠0‥‥⑥
③から、｜x｜＜a → x＾2＜a＾2 → x＾2＜(y－x^3)/(1－3x)‥‥⑦
以上から、③～⑤に⑥と⑦を加味して、
・1/3＜x＜1の時、x＾3－3x＋1＜y＜－2x＾3＋x＾2。
・1/3＝xの時、点（1/3、1/27）。
・－1＜x＜1/3（x≠0）の時、－2x＾3＋x＾2＜y＜x^3－3x＋1。
f´（x）＝3x^2－3a^2＝3*（x+a）*（x－a）となり、
これはa≠0より極値を持つ。
増減表を書くと、0<a<1から、x＝aで極小、x＝－aで極大となる。
即ち、曲線：y＝x^3－3a^2x+a^2 ‥‥①の、｜x｜＜a ‥‥②の部分の通過領域を求める事になる。
そのためには、①より、（a＾2）*（1－3x）＝y－x^3 ‥‥③であり、
条件から0＜a＜1であるから、 その条件の下で曲線③の動き得る領域を求めると良い。
③より
・1－3x＝0の時、0＝y－x^3より 点（1/3、1/27）‥‥④
・1－3x≠0の時、a＾2＝（y－x^3 ）/（1－3x）となり、
0＜a＜1より、0＜（y－x^3 ）/（1－3x）＜1.‥‥⑤
これは、 3x＞1の時、x＾3－3x＋1＜y＜－2x＾3＋x＾2。
3x＜1の時、x^3＜y＜x＾3＋3x－1
又、 ②より ｜x｜＜a、0＜a＜1であるから、｜x｜＜1、and、x≠0‥‥⑥
③から、｜x｜＜a → x＾2＜a＾2 → x＾2＜(y－x^3)/(1－3x)‥‥⑦
以上から、③～⑤に⑥と⑦を加味して、
・1/3＜x＜1の時、x＾3－3x＋1＜y＜－2x＾3＋x＾2。
・1/3＝xの時、点（1/3、1/27）。
・－1＜x＜1/3（x≠0）の時、－2x＾3＋x＾2＜y＜x^3－3x＋1。