数学Ⅱ 常用対数の応用について

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【数学Ⅱ 常用対数の応用について】

（１/３０）^30 を小数で表したとき、小数第何位に初めて０でない数字が現れるか。
ただし、log10 3= 0.4771 とする。

〈解答〉
log10（１/３０）^30 = 30log10 １/３０ = −30log10 3 = −14.313
−１５＜ log10（１/３０）^30 ＜ −１４ であるから
１０^−15 ＜ （１/３０）^30 ＜ １０^−14
よって、（１/３０）^30 を小数で表したとき、小数第１５位に初めて０でない
数字が現れる。

と教科書に書かれているんですが、
どうして、
「−１５＜ log10（１/３０）^30 ＜ −１４ であるから
１０^−15 ＜ （１/３０）^30 ＜ １０^−14」となるんですか？
また、なぜ答えが〝小数第１５位〟になるんですか？教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

(1/30)³⁰に常用対数を取る。
log₁₀(1/30)³⁰
⇔30log₁₀(1/30)
⇔30(log₁₀1-log₁₀30)
⇔30(0-log₁₀30)
⇔0-30log₁₀30
⇔-30(log₁₀3+log₁₀10)
⇔-30(0.4771+1)
⇔-30×1.4771
⇔-44.313

10⁻⁴⁵＜(1/30)³⁰＜10⁻⁴⁴だから、
小数第45位に0でない数字が現れる....[答]


例えば10⁻¹ならば0.1で0でない数字は小数第1位
10⁻²ならば0.02なので0でない数字は小数第2位となりますね。

結論を言うと、10⁻ⁿならば小数第n位に0でない数字が現れます。

log₁₀(1/30)³⁰=-44.313なので、(1/30)³⁰=10^(-44.313)ということですね。

つまり、10⁻⁴⁵よりは大きく10⁻⁴⁴よりは小さいと言うことです。つまり、小数点以下の0の個数は10⁻⁴⁵と同じになる訳ですので小数第45位が答えとなります。