区分求積法の応用問題が全くわかりません

[ゲスト]

区分求積法は
lim_{n→∞}1/nΣ_{k=A}^{B}f(k/n)
=∫_{a}^{b}f(x)dx
です. ただしa=limA/n, b=limB/nです.
これをグラフから理解しようとしたとき, k個目の細分について,
間隔の1/nがdxになって,
そこでの値のf(k/n)がf(x)になって,
和Σが積分∫になる
と分かります.
しかし積分範囲について, a=lim_{n→∞}A/n, b=lim_{n→∞}B/nであることが上手く理解できません.

どのように理解すれば良いでしょうか. 教えて頂けると幸いです.よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

そもそも和の範囲が$A$から$B$になっている事が変で、
普通は
\[ \frac{1}{n}\sum_{k=0}^n f(\frac{k}{n}) \]
とします。すると範囲は
\[ x=\frac{0}{n}=1 \]
から
\[ x=\frac{n}{n}=1 \]
までになりますね。よって$n \to \infty$の極限が
\[ \int_{0}^{1}f(x)dx \]

一般の $a<x<b$の積分範囲なら
\[ g(x)=f(\frac{x-a}{b-a}) \]
と関数を再定義すれば同様です。