複素数平面の難問で手も足もでませんでした

[ゲスト]

複素数平面の点A(1)を中心とし、原点を通る円をCとする。P(z)、Q(w)を円C上を動く点とし、0<argz<argw<π/2とする。さらにR＝z(w-2)/w(z-2)とおく。
このときR＞1を満たす実数であることを示せということなのですが、まったく方針がたちませんでした。このRの式を変形させる必要はあるとは思いますが変形の仕方がわかりません。できればなぜそのような変形をしたのかを含めて答えてくれると嬉しいです。お願いします。
全くわかりませんでした。基礎から教えていただけるとありがたいです。

[ゲスト]

下図のように円があり，P，Qは円周上です。
arg(z)，arg(w) があるので，OP，OQを結んでおきましょう。

そこで，式を見るわけですが，
z(w-2)/(w(z-2)) になっているので，
w-2,z-2 を表現するためにPB，QBを結びます。（B(2)とします）

それで，下図になるわけですが，これ，円周角の図ですよね。
「円周角」と「z(w-2)/(w(z-2))」を見て思い出しませんか。

・・・・・
円周角，または内接四角形で，４点が同一円周上にあることを表す。
((α-β)/(γ-β))×((γ-δ)/(α-δ)) は実数


こんなことを学習しなかったでしょうか？


z/(z-2) の偏角は下の図の∠BPO
(w-2)/w の偏角は下の図の∠OQB

z(w-2)/(w(z-2))=z/(z-2)×(w-2)/w になっているので，
z(w-2)/(w(z-2)) の偏角は∠BPO+∠OQB

直径に対する円周角なので，
∠BPO=-π/2（符号注意！時計回り）
∠OQB=π/2
よって，
∠BPO+∠OQB=0

偏角が0なので，
z(w-2)/(w(z-2)) は正の実数になります。


ここまではわかりますかね？

問題はその後の，R>1
正とはわかりましたが，1より大きいことを言わなければなりません。

そこで，z(w-2)/(w(z-2))=z/(z-2)×(w-2)/w をもう一度見直します。

今，大きさを考えたいから，（偏角を考えない）
|z|/|z-2|，|w-2|/|w| とします。
|z|=OP，|z-2|=BP です。
そこで，∠BOP=θと置くと，
OP=2cosθ，BP=2sinθ ですね。（OB=2です）
従って，
|z|/|z-2|=1/tanθ です。

同様に，∠BOQ=φ と置くと，
|w-2|/|w|=tanφ

正の実数であることがわかっているので，
絶対値があっても無くても，
z(w-2)/(w(z-2))=z/(z-2)×(w-2)/w=tanφ/tanθ となります。
0<θ<φ<π/2 ですから，
tanθ<tanφ となって，
z(w-2)/(w(z-2))=tanφ/tanθ>1 となります。