整式の割り算の応用問題について質問があります。

[ゲスト]

nを２以上の自然数とするとき、x^n-1を(x-1)^2で割った時の余りを求めよ。
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この問題が分かりません。
詳しい解説付きでお願いします。
x^n-1はxのn-1乗ではなくて、xのn乗-1という意味です。
別解などがあればなおうれしいです。よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

まだ数Ⅱの初めの方までしか分からないので

となると、微分も数学的帰納法もダメだから、恒等式しかないと思いますね。やってみます。


x^n-1を(x-1)^2で割った時の商をQ(x)、余りをαx+βとおく。、
つまり、x^n-1=(x-1)^2Q(x)+αx+β ‥‥①
x=1を代入すると、α＋β＝0だから、x^n-1=(x-1)^2Q(x)+αx－αとなる。
x^n-1=(x-1)(x^n-1+x^n-2+…+1)＝(x-1)^2Q(x)+αx－α＝(x-1){(x-1)Q(x)+α}。
x^n-1+x^n-2+…+1＝(x-1)Q(x)+αがx＝1に付いても成立するから、x^n-1+x^n-2+…+1＝nより、α＝n、α＋β＝0より
αx+β＝n(x－1)




別解であれば微分をすれば簡単に求めることができます。

余りをax+bとすると、x^n-1＝Ａ(x)・(x-1)^2＋ax+bとなる。
従って、x^n-1－(ax+b)＝Ａ(x)・(x-1)^2だから、左辺＝f(x)＝x^n-1－(ax+b)が(x-1)^2で割り切れる事を示している。
よって、f(1)＝f´(1)＝0が成立する。
計算すると、－(a+b)＝n－a＝0だから、a＝n、b＝－nになるから、余り＝nx－n

以上です。解答のご確認をお願いいたします。