関数についてわからない部分があります

[ゲスト]

正像法 逆像法とはどういうものでしょうか…
またどのような時にどちらを用いるのが良いのでしょうか
本当にレベルの低い質問で申し訳ないのですがどなたか教えてくださると嬉しいです

「軌跡と領域」分野の順像法&逆像法(逆手流)が難しそうだったため敬遠していたのですが、問題での出題頻度はどれほどでしょうか？
また、短期間で理解して使いこなせるようになる解法でしょうか？

よろしくお願いいたします

[ゲスト]

いや，普通習わないので別にレベルとか関係無いと思っています。

「正像法」とは，前から解いていく方法です。
正確に言えば，必要条件を探っていく方法。
「逆像法」とは，「解が存在する」と仮定して存在するならどういう条件が成り立つか考えていく方法です。
前からとくか後ろからとくか。

例えば，y=x^2+x+1の値域を求めるという問題を考えましょう。


「正像法」では，y=x^2+x+1から考えます。
y=x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4
となるのでy≧3/4であることが必要です。（「y=x^2+x+1」→「y≧3/4」の必要条件）
y≧3/4のときy=x^2+x+1に値があることが必要なのですが，y=x^2+x+1が連続で，lim(x→∞)y=∞であることから成り立ちます。（「y=x^2+x+1」→「y≧3/4」の十分条件）
ということで，必要十分条件が成り立ったのでy=x^2+x+1の値域はy≧3/4です。


「逆像法」では値域があるものと考えます。（本当はあるかどうかなんてわからんのです。もちろん問題を考えてるからあるわけで・・・w）
では，解き方ですが，y=x^2+x+1に解があると考えましょう。
ではその条件は？移行すれば二次方程式になりますから
x^2+x-y+1=0
となります。これにはyの値がある以上対応するxの値があるはずですから，判別式0以上になるはずです。よって，判別式をDとすれば
D=1-4(-y+1)≧0
これを解いてy≧3/4
逆も成り立つことしか使ってないので当然逆も成り立つ。
よって値域はy≧3/4


逆像法ですが，「～はずだ」という言い回しが目立つと思います。でも逆から考えてるからこんな風になります。（私の印象では）

逆像法が有効な問題としては，「線形計画法」の問題があります。
「x^2+y^2≦4のときx+yの取り得る値の範囲を求めよ。」というような問題。
x+yの取り得る値があるか無いかも分からないのに，教科書ではまず
x+y=kとおく。
なんて書いてます。もろ逆像法です。でもこれが有効なんです。そう置けば
y=-x+k
として直線に置き換えられるので。
もちろん正像法でも解けますが，少々厄介ですが、、

対象となる変数：tについて
① tの２次方程式なら、逆像法の方が正像法より簡単な場合が多いし、
正像法が使えない場合も少なくない。
② tの3次方程式なら、逆像法は難しいから、正像法しか使えない場合が多い。

＞短期間で理解して使いこなせるようになる解法でしょうか？

２次方程式の解の配置の問題なんだから、それが分かってれば、極めて簡単。
それが難しそうという事は、方程式の解の配置が分かってないだけの事。