漸化式について最初からわかりません。教えてください。

[ゲスト]

a1=1,an+1=(-1+2025/n)an
の一般項と初項から第2025項までの和を求めよ
この問題の解き方と答えを教えていただけませんか？
どこから手を付ければいいのかわかりません。ご回答をよろしくお願いいたします。

[ゲスト]

数列の添え字は aₙ₊₁ のように小文字を使うのが難しければ、a[n+1] などのように括弧を使って書いてください。


a₁=1
aₙ₊₁=(-1+2025/n)aₙ
=((2025-n)/n)aₙ

n≦2024のとき、両辺にn!·(2024-n)!をかけて
n!·(2024-n)!·aₙ₊₁=(n-1)!·(2025-n)!·aₙ
よって数列 {(n-1)!·(2025-n)!·aₙ} (n=1,2,3,···,2025) は定数列であるから
(n-1)!·(2025-n)!·aₙ=0!·2024!·a₁=2024!
∴ aₙ=2024!/((n-1)!·(2025-n)!)
=₂₀₂₄Cₙ₋₁ (n=1,2,3,···,2025)


以上のように一応普通に「解ける漸化式」ではあるのですが、こうせずに初項から何項かを見て規則性を推測することを期待している問題のような気もします。
a₁=1
a₂=(2024/1)a₁=2024/1
a₃=(2023/2)a₂=(2024·2023)/(2·1)
a₄=(2022/3)a₃=(2024·2023·2022)/(3·2·1)
︙
ここから
aₙ=₂₀₂₄Cₙ₋₁
という一般項を推測するのは難しくありません。
もちろん、これだけではただの推測なので、これが確かに問題の漸化式を満たしていることは示す必要があります。


また、数列{aₙ}の初項から第2025項までの和は
Σₖ₌₁²⁰²⁵ aₖ
=Σₖ₌₁²⁰²⁵ ₂₀₂₄Cₖ₋₁
=Σₖ₌₀²⁰²⁴ ₂₀₂₄Cₖ
=Σₖ₌₀²⁰²⁴ ₂₀₂₄Cₖ·1²⁰²⁴⁻ᵏ·1ᵏ
=(1+1)²⁰²⁴
=2²⁰²⁴

[ゲスト]

回答ありがとうございます！
一般項を推測してから証明するのはどのように行うのかも教えていただきたいです（ ; ; ）あとすみません。この問題の難易度って大学のレベルで言うとどれくらいだと思いますか？以上2点よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

ご返信ありがとうございます。

証明は普通に数学的帰納法とかでいいですよ。
aₙ=₂₀₂₄Cₙ₋₁ ···①
とすると
a₁=1=₂₀₂₄C₀
であるからn=1のとき①は成り立つ。
n=kのとき①が成り立つとすると
aₖ₊₁=((2025-k)/k)aₖ
=((2025-k)/k)·₂₀₂₄Cₖ₋₁
=((2025-k)/k)·(2024·2023····(2024-k))/((k-1)·(k-2)···1)
=((2025·2024···(2024-k))/(k·(k-1)···1)
=₂₀₂₄Cₖ
であるからn=k+1のときも①は成り立つ。
よってすべての自然数nについて①は成り立つ。

大学のランクはちょっとわからないですね。
典型問題ではないし、数列・場合の数・二項定理などの幅広い分野の理解が不可欠なので、そこそこ難しい気はしますが。

本当は帰納法とか使わなくても単に与えられた漸化式を使ってaₙから順に遡っていって
aₙ=((2026-n)/(n-1))aₙ₋₁
=((2026-n)/(n-1))·((2027-n)/(n-2))aₙ₋₂
=((2026-n)/(n-1))·((2027-n)/(n-2))·((2028-n)/(n-3))·aₙ₋₃
︙
=((2026-n)/(n-1))·((2027-n)/(n-2))·((2028-n)/(n-3))······(2023/2)·(2024/1)a₁
=(2024·2023·2022···(2026-n))/((n-1)(n-2)(n-3)······1)
=₂₀₂₄Cₙ₋₁
みたいな書き方で式を導いても説明にはなってるんですが、ちょっと分かりにくすぎるかなという気がします。