多項式（x^100+1)^100+(x^2+1)^100は多項式x^2+x+1で割れるか
という問題が分かりません。
解説をお願いします。
数と式
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Re: 数と式
多項式$(x^{100}+1)^{100}+(x^2+1)^{100}+1$を$x^2+x+1$で割った時の商を$Q(x)$,
余りを$ax+b$(1次以下になる)とする。このとき
\[ (x^{100}+1)^{100}+(x^2+1)^{100}+1=(x^2+x+1)Q(x)+ax+b \cdots ①\]
このとき、$\omega^2+\omega+1=0$となる定数$\omega$を考える。
\[\omega^3-1=(\omega-1)(\omega^2+\omega+1)=0 \]
より
$\omega^3=1 (ただし \omega \neq 1) $
①の両辺に$x=\omega$を代入すると
\[a \omega +b=(\omega^{100}+1)^{100}+(\omega^2+1)^{100}+1\ \cdots ②\]
ここで
\[\omega^{100}+1=(\omega^3)^{33} \cdot \omega +1=\omega+1 \]
よって
\[(\omega^{100}+1)^{100}=(\omega+1)^{100}=(-\omega^2)^{100}=\omega^{200} \]
\[=(\omega^3)^{66} \cdot \omega^2=\omega^2 \]
また
\[ (\omega^2+1)^{100}=(-\omega)^{100}=\omega^{100}=\omega \]
②は
\[a \omega +b=\omega^2 + \omega +1\ =0 \cdots ③\]
となる
また、同様にして ①に$x= \omega^2$を代入すると
\[a \omega^2 +b=(\omega^{200}+1)^{100}+(\omega^4+1)^{100}+1 =0 \cdots ④\]
④-③より
\[ a \omega (\omega-1)=0 \]
\[\omega \neq 0,1 よりa=0 ゆえにb=0\]
したがって
\[(x^{100}+1)^{100}+(x^2+1)^{100}+1はx^2+x+1で割りきれる\]
余りを$ax+b$(1次以下になる)とする。このとき
\[ (x^{100}+1)^{100}+(x^2+1)^{100}+1=(x^2+x+1)Q(x)+ax+b \cdots ①\]
このとき、$\omega^2+\omega+1=0$となる定数$\omega$を考える。
\[\omega^3-1=(\omega-1)(\omega^2+\omega+1)=0 \]
より
$\omega^3=1 (ただし \omega \neq 1) $
①の両辺に$x=\omega$を代入すると
\[a \omega +b=(\omega^{100}+1)^{100}+(\omega^2+1)^{100}+1\ \cdots ②\]
ここで
\[\omega^{100}+1=(\omega^3)^{33} \cdot \omega +1=\omega+1 \]
よって
\[(\omega^{100}+1)^{100}=(\omega+1)^{100}=(-\omega^2)^{100}=\omega^{200} \]
\[=(\omega^3)^{66} \cdot \omega^2=\omega^2 \]
また
\[ (\omega^2+1)^{100}=(-\omega)^{100}=\omega^{100}=\omega \]
②は
\[a \omega +b=\omega^2 + \omega +1\ =0 \cdots ③\]
となる
また、同様にして ①に$x= \omega^2$を代入すると
\[a \omega^2 +b=(\omega^{200}+1)^{100}+(\omega^4+1)^{100}+1 =0 \cdots ④\]
④-③より
\[ a \omega (\omega-1)=0 \]
\[\omega \neq 0,1 よりa=0 ゆえにb=0\]
したがって
\[(x^{100}+1)^{100}+(x^2+1)^{100}+1はx^2+x+1で割りきれる\]