ベクトルの平面方程式について質問があります

[ゲスト]

次の平面の方程式を求めよ
1、点（2，1，3）を通り、平面3ｘ+2ｙ-4ｚ＝12に平行な平面
2、2点A（1，2，1）、B（3，-1，0）を結ぶ直線ABに垂直で、しかも点（1，-1，2）を通る平面
3，点（1，2，-3）を通り、二つの平面ｘ+ｙ-ｚ=1、3ｘ-2ｙ+ｚ=-4に垂直である平面

ある程度平面方程式の知識はあるはずですが、丁寧なご回答をよろしくお願いします

[ゲスト]

1. 求める平面をαとし、その法線ベクトルを↑αとします。

平面 3ｘ+2ｙ-4ｚ＝12 をβとすると、α//βですから、αとβの法線ベクトルは同じものが使えます。
よって、↑α=(3,2,-4) です。αは (2,1,3) を通るから、αの方程式は

3(x-2)+2(y-1)+(-4)・(z-3)=0
3x+2y-4z+4=0…（答）

2. 求める平面をαとし、その法線ベクトルを↑αとします。

↑AB=(2,-3,-1) です。

α⊥AB なので、↑α//↑AB です。よって、↑α=(2,-3,-1) を採用します。
αが (1,-1,2) を通るので、求める平面αの方程式は

2(x-1)+(-3)・(y+1)+(-1)・(z-2)=0
2x-3y-z-3=0…（答）

3. 求める平面をαとし、その法線ベクトルを↑αとします。

ｘ+ｙ-ｚ=1を平面βとしその法線ベクトルを↑β、3ｘ-2ｙ+ｚ=-4を平面γとしその法線ベクトルを↑γとします。
↑β=(1,1,-1)、↑γ=(3,-2,1) です。

β⊥αより↑β*↑α=0 かつ γ⊥αより↑γ*↑α=0 です。（* はベクトルの内積）
↑α=(a,b,c) とすると、

↑β*↑α=a+b-c=0…(1)
↑γ*↑α=3a-2b+c=0…(2)

(1), (2) より a:b:c = 1:4:5 となるので、↑α=(1,4,5) と置ける。
αは (1,2,-3)を通るので、求める平面αの方程式は

1・(x-1) + 4・(y-2) + 5・(z+3)=0
x+4y+5z+6=0…（答）

合っているかどうかのご確認をお願いします。