整数の性質について質問があります。

[ゲスト]

x+y+z=2
xy+yz+zx＝0のときxyzの取りうる範囲を求めよって問題について質問です。
条件式にxyzがあれば対称式になるって考えxyz=kとすると t^3-2t^2-k=0の三解がx,y,zとなる。
そして定数分離によりt^3-2t^2=kとして図に可視化してあげるとkは解を2個~3個もつところしか移動できなく解が1個の所は移動できないのはなぜですか？
ご回答よろしくお願いします。
普通のこの問題の答案もいただけると助かります。

[ゲスト]

左辺は$t$についての3次式ですから、本来であれば答えは3つありますよね？
それが１つしかないとはどういうことなのでしょうか？
それは実数解が1つしかないと言っているのです。残りの２つは虚数解となるので実数平面上には現れません。質問には書かれていませんが、$x,y,z$は実数とする等条件が入っていませんか？ なので重解を含めた3つの実数解が存在する範囲が求めるkの範囲となります。なので$-\frac{32}{27}≦k≦0$となるのではないでしょうか？