数列のシグマ計算について知りたいです

[ゲスト]

数学Bの問題です。

いろいろな数列の和で
恒等式
1/(2k－1)(2k＋1)＝1/2(1/2k－1 － 1/2k＋1)
を利用して
S＝1/1×3＋1/3×5＋1/5×7＋……＋1/(2n－1)(2n＋1)を求めるときの途中式が理解でき
ません。

1/2(1/2n－1 － 1/2n＋1) が
2n＋1－(2n－1)/(2n－1)(2n＋1)になり、
1/(2n－1)(2n＋1)になるのがわかりません。

そのあと、S＝1/2(1/1－1/3)＋1/2(1/3－1/5)…
と式をつくるときなぜ1/2が()の前にきてるのかもよくわからないです。


見づらい質問ですが、
わかる方がいましたらお願いします。

[ゲスト]

参考書を見たほうが早いと思いますが、書いておきますね
部分分数分解
1/(2k-1)-1/(2k+1) これをまず計算する
通分して
分子:(2k+1)-(2k-1)=2
分母:(2k-1)(2k+1)
で分子を1にしたいからつじつまあわせで1/2
kで考えて難しいのなら1とか具体的な数字をいれてみると
(1/2)(1-1/3)=1/(1*3)
(1/2)(1/3-1/5)=1/(3*5)
で正しい

なんで引き算の形にしたかというと
足すと-で消える部分があるので計算がｶﾝﾀﾝになる
共通因数の1/2を外してほかの部分は
1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+
となるからですね。ご確認お願い致します。何かわからない部分があれば返信ください