高校数学III、速さの問題です。
座標平面上を運動する点 P の時刻 t における座標(x,y)が、x=2cost,y=sin2t (0≦t≦2π)で与えられているとき
(1)動点Pの速度の大きさを求めよ。
(2)動点Pの速さの最大値を求めよ。
上記の問題の解き方と答えを教えて下さい。
よろしくお願い致します。
速さの問題です。微分と積分が含まれます。
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ゲスト
Re: 速さの問題です。微分と積分が含まれます。
ここらの内容は物理でよく出てくる内容です。
(1)
速度は位置ベクトルの時間微分なので、
r=(x, y)とおくと、
速度は、
dr/dt=(dx/dt, dy/dt)=(-2sint, 2cos(2t))
速さは、
|dr/dt|=√(4(sint)^{2}+4(cos(2t))^{2})
となる。
(2)
|dr/dt|^{2}=4(sint)^{2}+4(cos(2t))^{2}
=2(1-cos(2t))+4(cos(2t))^{2}
ここで、
u=cos(2t)とおくと、0≦t≦2πなので、-1<=u<=1となる。
f(u)=4u^{2}-2u+2 (-1<=u<=1)とおくと、
f(u)=4(u-(1/4))^{2}+7/4
したがって、-1<=u<=1におけるf(u)の最小値は、7/4なので、
|dr/dt|の最小値は、√7/2
となる。
(1)
速度は位置ベクトルの時間微分なので、
r=(x, y)とおくと、
速度は、
dr/dt=(dx/dt, dy/dt)=(-2sint, 2cos(2t))
速さは、
|dr/dt|=√(4(sint)^{2}+4(cos(2t))^{2})
となる。
(2)
|dr/dt|^{2}=4(sint)^{2}+4(cos(2t))^{2}
=2(1-cos(2t))+4(cos(2t))^{2}
ここで、
u=cos(2t)とおくと、0≦t≦2πなので、-1<=u<=1となる。
f(u)=4u^{2}-2u+2 (-1<=u<=1)とおくと、
f(u)=4(u-(1/4))^{2}+7/4
したがって、-1<=u<=1におけるf(u)の最小値は、7/4なので、
|dr/dt|の最小値は、√7/2
となる。