偏微分に関する質問です

[ゲスト]

偏微分の極値を求める問題がわかりません。

sinx+siny+cos(x+y) という関数の極値を求める問題です。
見づらくて申し訳ありません。

まず、xとyについてそれぞれ偏微分してみました。

∂f/∂x=cosx-sin(x+y)
∂f/∂y=cosy-sin(x+y)

そして、それぞれを=0として、連立してxとyの値を求め、
極値の候補点とするのですよね。

ここで、担当の先生が書いた解答を見ると、
極値の候補点は、（-π≦x≦π -π≦y≦π の範囲で）

(π/2,π/2)、(π/2,-π/2)、(-π/2,π/2)、(-π/2,-π/2)、
(π/6,π/6)、(5π/6,5π/6)

の6つである。

と書いてありました。

そこで質問なのですが、極値の候補点は上記の6つの他に

(-π/6,5π/6)、(-5π/6,π/6)、(-π/6,-π/6)、
(-π/6,-π/6)、(-5π/6,-5π/6)

は含まれないのですか？
自分で問題を解いていたら、これらも出てきたので…

ちなみに解答は、

kとk'を整数として、
x=-π/2+2kπ,y=-π/2+2k'π で極小値－3
x=π/6+2kπ,y=π/6+2k'π で極大値3/2
x=5π/6+2kπ,y=5π/6+2k'π で極大値3/2

このようになっています。

できれば途中式と解説を詳しくお願いします。

どうぞよろしくお願い致します。

[ゲスト]

[Ⅰ]極値をとる点の候補
------------------
$f(x,y)=\sin{x}+\sin{y}+\cos{(x+y)}$
あきらかに$x,y$の両方について周期$2\pi$の関数なので、
$-\pi \leq x,y \leq \pi$に限定して極値の点をもとめればいいですね。
この関数は$R^2$で全微分可能なので、
極値では第1次偏導関数が0です

\[\frac{\partial f}{\partial x}=\cos{x}-\sin{(x+y)} \]
\[\frac{\partial f}{\partial y}=\cos{y}-\sin{(x+y)} \]
極値をとるとき
\[\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}=0 \]
よって
\[ \cos{x}-\sin{(x+y)}=0 \cdots ① \]
\[ \cos{y}-\sin{(x+y)}=0 \cdots ② \]

①、②より、
\[\cos{x}=\cos{y} \cdots ③\]

また①より、
\[\cos{x}-[\sin{x} \cos{y}+ \cos{x} \sin{y}]=\cos{x}-\cos{x} \sin{y}-\sin{y} \cos{x}\]
\[=\cos{x}[1-\sin{x}-sin{y}]=0 \cdots ④\]

よって
$\cos{x}=0 または\sin{x}+\sin{y}=1$


(ⅰ)$\cos{x}=0$ の場合
\[x=-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \]
また③より、
\[y=-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \]
よって、この場合の候補の点は、
\[(x,y)=(\pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{\pi}{2} )\](複号任意)

(ⅱ) $\sin{x}+\sin{y}=1 $
の場合
\[\sin{y}=1-\sin{x} \]
これと③より、
\[\cos^{2}{y}+\sin^{2}{y}=\cos^{2}{x}+(1-\sin{x})^2=2-2\sin{x}=1 \]
よって、
\[sin{x}=\frac{1}{2} \]
また
\[sin{y}=1-\sin{x}=\frac{1}{2} \]
よって、$x,y \in (\pi, \pi]$では、
\[x=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6} \]
\[y=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6} \]
でも③の条件があるため、

\[(x,y)=(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}),(\frac{5\pi}{6},\frac{5\pi}{6})............................................(☆☆)\]
の2組の場合だけ①、②が成立します
(☆), (☆☆)より、
極値の候補の点は$x,y \in (\pi,\pi]$では、
\[(x,y)=(\pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{\pi}{2})(複号任意)(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}),(\frac{5\pi}{6},\frac{5\pi}{6}) \]
になります

[ゲスト]

[Ⅱ]極値をとるかどうかの判定
極値の判定には、第2次偏導関数を使います
$f_{xx}=-\sin{x}-\cos{(x+y)}$
$f_{xy}=f_{yx}=-\cos{(x+y)}$
$f_yy=-\sin{y}-\cos{(x+y)}$
また判別式を6
$D=(f_{xy})^2-(f_{xx})*(f_{yy})$
としましょう
つぎに、各点において、これらの値を求めておきましょう(下の表参照）
よって、任意の整数$m,n$に対して
\[(x,y)=(-\frac{\pi}{2}+2m \pi,-\frac{\pi}{2}+2n\pi)\]
で極小値$-3$
\[(x,y)=(\frac{\pi}{6}+2m \pi,\frac{\pi}{6}+2n \pi) \]
で極大値$\frac{3}{2}$
\[(x,y)=(\frac{5\pi}{6}+2m \pi,\frac{5\pi}{6}+2n \pi) \]
で極大値$\frac{3}{2}$
をとる。

[ゲスト]

表です