「多項式f(x)を1時式x-aで割ったときのあまりはf(a)である」という剰余の定理がいまいち理解出来ません。
計算は例に倣ってやっているので出来るのですが、根本が分かっていない気がします。なので下のような問題になると腑に落ちない感じで問題を解いています。
剰余の定理と下の問題の解説を出来ればお願いしたいです。
多項式f(x)をx^2+6で割ったときのあまりがx-5、xー１で割ったときのあまりが3であるという。f(x)を(x^2+6)(x-1)で割ったときのあまりをもとめよ
剰余の定理の基本について
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Re: 剰余の定理の基本について
P(x)を(x-a)で割ると，次数が全て1つずつ下がりますが，この時元々0次の式は割れませんので，余りとしておくことになります。よって，整式であれば，
P(x)=Q(x)(x-a)+R
と書けます。Rにはxは含まれません。0次だからです。
この式は，恒等式ですので，xに何を入れても成り立ちます。
では，Rは何なのか？それを知るためにはQ(x)(x-a)が0になる時を探せば良いのですが，明らかにx=aのとき0です。
x=aを代入して，
P(a)=Q(a)(a-a)+R=R
つまり，R=P(a)ということです。
よって，最初の式に代入して，
P(x)=Q(x)(x-a)+P(a)
となります。
整式f(x)を、
二次式x²+6で割ったときの
商を、g(x)
とすると、
余りが、x-5
より、
f(x)=(x²+6)・g(x)+x-5......(1)
整式g(x)を、
一次式x-1で割ったときの
商を、h(x)
と置くと、
余りを、a
とすると、
g(x)=(x-1)・h(x)+a............(2)
(1),(2)より、
f(x)
=(x²+6)・{(x-1)・h(x)+a}+x-5
=(x²+6)・(x-1)・h(x)+a(x²+6)+x-5
(=(x²+6)・(x-1)・h(x)+ax²+x+6a-5)
f(1)=3より、
7a+1-5=3
a=1
求める余りは、
x²+x+1........(こたえ)
P(x)=Q(x)(x-a)+R
と書けます。Rにはxは含まれません。0次だからです。
この式は，恒等式ですので，xに何を入れても成り立ちます。
では，Rは何なのか？それを知るためにはQ(x)(x-a)が0になる時を探せば良いのですが，明らかにx=aのとき0です。
x=aを代入して，
P(a)=Q(a)(a-a)+R=R
つまり，R=P(a)ということです。
よって，最初の式に代入して，
P(x)=Q(x)(x-a)+P(a)
となります。
整式f(x)を、
二次式x²+6で割ったときの
商を、g(x)
とすると、
余りが、x-5
より、
f(x)=(x²+6)・g(x)+x-5......(1)
整式g(x)を、
一次式x-1で割ったときの
商を、h(x)
と置くと、
余りを、a
とすると、
g(x)=(x-1)・h(x)+a............(2)
(1),(2)より、
f(x)
=(x²+6)・{(x-1)・h(x)+a}+x-5
=(x²+6)・(x-1)・h(x)+a(x²+6)+x-5
(=(x²+6)・(x-1)・h(x)+ax²+x+6a-5)
f(1)=3より、
7a+1-5=3
a=1
求める余りは、
x²+x+1........(こたえ)