三角関数の微分について質問があります

[ゲスト]

三角関数の微分がわかりません↓↓
数Ⅲのチャートをやっているんですが
三角関数の導関数？（微分）が全くわかりません。

例えば・・y=sin2x
公式には(sinx)'=cosxって書いてたんで、
「そのままsinxをcosxにすればええんか！」
と思ってy=cos2xと解いたら、解答には
y=2cos2x。ん？と思いました。解説にはy'=cos2x・(2x)'=2cos2xと書いてました。
それで、ほかの問題を解いても見事なほどに違ってます。


数Ⅱのときの微分はできたんですけど、
三角関数のは意味が分かりません！なんで自分が間違ってるのかわかりません！
公式に従ってるのに・・・(=_=)だれか分かるように教えてください！！

そもそも、三角関数や対数の微分の証明は覚えたほうがいいでしょうか。よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

(sinx)'=cosxですが
(sin2x)'=cos2xではありません。

数Ⅲで「合成関数の微分」というのを習っているはずです。
ちょっと、そこを復習してみてください。

dy/dx = dy/du ・ du/dx
という公式が出ているはずです。

公式「(sinx)'=cosx」に直接あてはまらないもの（2x）は、
別の文字uに置き換えて別々に計算しましょう
ということです。

u = 2x と置き換えて
y = sin(u)をuで微分すれば
dy/du = cos(u)
となりますが、これだけですと、まだdy/dx を求めたことになりません

dy/dx = dy/du ・ du/dx
なのですから、残りのdu/dx を求めると
du/dx=・(2x)' = 2
となります。

ここでようやく、
y' = dy/dx = dy/du ・ du/dx = cos(u) ・(2x)' = cos2x・2 = 2cos2x
となります。