数Ⅱの判別式と解と係数の関係の問題

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次の問題について、詳しく説明してくださる方いらっしゃいませんか？数学が苦手なので、図解なども欲しいです。よろしくおねがいします。

ん違ついての二次方程式x^2-2mx+3m^2-m-3=0の解α、βがともに実数のとき、α^2＋β^2の最大値、最小値とそのときの実数mの値を求めよ。

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$x^2-2mx+3m^2-m-3=0 \cdots ①$の判別式を$D$とすると
\[D=(-2m)^2-4(3m^2-m-3)=4[m^2-(3m^2-m-3)] \]
\[=4(-2m^2+m+3)=-4(m+1)(2m-3) \]
①は実数解をもつから$D \geq 0$
よって
\[-1 \leq m \leq \frac{3}{2} \]
解と係数の関係から
\[ \alpha+\beta=2m, \alpha \beta=3m^2-m-3 \]
\[ \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2- 2\alpha \beta \]
\[=(2m)^2-2(3m^2-m-3)=-2m^2+2m+6\]
\[=-2(m^2-m+\frac{1}{4}-\frac{1}{4})+6 =-2(m-\frac{1}{2})^2+\frac{13}{2} \]
\[m=\frac{1}{2}のとき最大値\frac{13}{2} \]
\[m=-1 のとき 最小値 2 \]

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図です

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綺麗なグラフで分かりやすいです！ありがとうございます！

判別式はD/4を使っても大丈夫でしょうか。少々不安なもので…
あとは最大値、最小値の問題は二次関数のグラフを書いて考えれば良いのですね！

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\[\frac{D}{4}=(-m)^2-(3m^2-m-3) \]
としても計算できます。