円と合同、相似の問題

[ゲスト]

応用問題ではなく、確認問題の場所にありました。でも②から間違えてしまって焦っています。応用ではないのにさくさく解けない自分が不甲斐ないです。

答えは①√７㎝　②７分の２√７㎝③14分の27√3㎠です

詳しく説明していただける方、どうかよろしくお願いします。

[ゲスト]

①
$△AHE$に着目します。
$\angle\mathrm{BAC}=90^\circ$の直角三角形、$△ABC$は正三角形より$\angle\mathrm{HAE}=60\circ$なので、$AH=\frac{1}{2}AE=1cm$

\[EH=\sqrt{3}AH=\sqrt{3}cm\]

また$△EHB$も$\angle\mathrm{EHB}=90^\circ$の直角三角形を見ると、$HB=AB-AH=3-1=2cm$より三平方の定理に当てはめると

\[BE^2=2^2+(\sqrt{3})^2=7\]
$BE>0$より$BE=\sqrt{7}cm$


②
$CE=1cm$、$△ABE\sim △DCE$なので

\begin{align*}
AE:DE & =BE:CE\\
2:DE & =\sqrt{7}:1\\
\sqrt{7}DE & =2\\
DE & =\frac{2\sqrt{7}}{7}cm\\
\end{align*}


③
三角形の面積比について。
高さが同じ時底辺の長さの比がそのまま面積比となります。それを利用しましょう。

②より$BE=\sqrt{7}$、$DE=\frac{2\sqrt{7}}{7}$

\begin{align*}
BE:BD & =\sqrt{7}:\sqrt{7}+\frac{2\sqrt{7}}{7}\\
BE:BD & =\sqrt{7}:\frac{9\sqrt{7}}{7}\\
BE:BD & =7:9\\
\end{align*}

$△ABE=\frac{1}{2}×3×\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}cm^2$だから

\begin{align*}
△ABD & =\frac{9}{7}△ABE\\
 & =\frac{9}{7}×\frac{3\sqrt{3}}{2}\\
 & =\frac{27\sqrt{3}}{14}cm^2\\
\end{align*}


文中にある数値を書き入れている点、同一の円周角に印を入れている点など、しっかり勉強しているように感じました。焦らなくても大丈夫ですよ。