二次方程式の問題について質問があります。

[ゲスト]

数学IIです。

2次方程式x^2+2mx+m+6=0が異なる2つの正の解を持つように、定数mの値の範囲を求めよ。

という問題で、
判別式を使ってm<-2,3<mをまとめるところまでは分かるのですが、
解と係数の関係を使ってm<0,-6<mを求める必要があるのがなぜか分かりません、、
どなたか教えて欲しいです。よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

判別式の条件によって求めた範囲だけだと、採点者に
解の符号の条件を考えていないと判断されて減点されるので
符号の条件も考える必要があります。
この問題はたまたま解の条件を考察しても判別式の条件に含まれてしまいますが
そうならない問題もあるので常に符号などの条件も考えるようにしましょう。

[ゲスト]

異なる2つの正の解を持つ状態をグラフで書いてみると分かりやすいです。

この手の問題は
・判別式→解の個数を指定されたときに使う。
・$f(0)$→切片が正か負かで解の位置を絞れる。
・軸→グラフの位置を絞れる。

判別式を使うだけでは、解の個数が2個になったところまでは分かるのですが、その2つの解が異符号の解2つなのか負の解2つなのか正の解2つなのかまでは分かりません。

そこで
$軸>0$にしますが、それだけでは小さい方の解が負かもしれないので$f(0)>0$も条件として必要になります。

【解答】
$f(x)=x^2+2mx+m+6$とおく

判別式を$D$とすると$D/4>0$…①
\begin{align*}
D/4 & =m^2-(m+6)\\
 & =m^2-m-6\\
 & =(m-3)(m+2)>0\\
\end{align*}
\begin{align*}
m & <-2、３<m\\
\end{align*}

$f(0)>0$…②
\begin{align*}
f(0) & =m+6>0\\
 \end{align*}
\begin{align*}
m & >-6\\
 \end{align*}

$軸>0$…③
\begin{align*}
軸 & =-m>0\
 \end{align*}
\begin{align*}
m & <0\\
 \end{align*}

①②③より
\begin{align*}
-6 & <m<-2\\
 \end{align*}