漸近線について

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漸近線の求め方について
なぜこのようなことが成り立つのか、教科書には説明がなくてわかりません。
なるべく言葉を多めに、説明をしていただけると助かります。

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まず式の意味は、y=f(x)と直線y=ax+bとの差が0に近づいていく、という意味です。
つまり遠く（∞、またはマイナス∞）では、ほとんど両者の区別がつきません。
これはy=f(x)が直線y=ax+bに漸近していく（漸近線）、という定義そのものです。
またはこのように式を変形したほうが分かりやすいかもしれません。
lim[y-(ax+b)]=0
lim(y)-lim(ax+b)=0
∴lim(y)=lim(ax+b)