陰関数 二階微分の問題です
次の陰関数表示で表された関数y=f(x)についてy‘’を求めよ
sin(x-y)+x+y=0
答えが4sin(x-y)/{1-cos(x-y)}^3なのですが、それへの導きかたがわからないので教えてもらえたらありがたいです。
陰関数 二階微分の問題です
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Re: 陰関数 二階微分の問題です
大学数学なら公式：
y“={2(fxy)(fx)(fy)-(fxx)(fy)²-(fyy)(fx)²}/(fy)³
を使う
以下、高校数学での解法で解く
sin(x-y)+x+y=0
両辺をⅹで微分
(x-y)´cos(x-y)+1+y´=0
(1-y´)cos(x-y)+1+y´=0 ①
y´=-{1+cos(x-y)}/{1-cos(x-y)} ②
➀の両辺をさらにⅹで微分
(1-y´)´cos(x-y)+(1-y´)(x-y)´{-sin(x-y)}+y“=0
-y“cos(x-y)-(1-y´)²sin(x-y)+y“=0
y“=(1-y´)²sin(x-y)/{1-cos(x-y)}
②を代入して整理
A=1-cos(x-y) とする
y“=(1-{1+cos(x-y)}/A)²sin(x-y)/A
=(A-1-cos(x-y))²sin(x-y)/A³
=4cos²(x-y)sin(x-y)/A³
y“={2(fxy)(fx)(fy)-(fxx)(fy)²-(fyy)(fx)²}/(fy)³
を使う
以下、高校数学での解法で解く
sin(x-y)+x+y=0
両辺をⅹで微分
(x-y)´cos(x-y)+1+y´=0
(1-y´)cos(x-y)+1+y´=0 ①
y´=-{1+cos(x-y)}/{1-cos(x-y)} ②
➀の両辺をさらにⅹで微分
(1-y´)´cos(x-y)+(1-y´)(x-y)´{-sin(x-y)}+y“=0
-y“cos(x-y)-(1-y´)²sin(x-y)+y“=0
y“=(1-y´)²sin(x-y)/{1-cos(x-y)}
②を代入して整理
A=1-cos(x-y) とする
y“=(1-{1+cos(x-y)}/A)²sin(x-y)/A
=(A-1-cos(x-y))²sin(x-y)/A³
=4cos²(x-y)sin(x-y)/A³