次の数学問題の解き方を教えていただけませんか？
『 ｘ⁵+ｘ+1＝0 のとき，ｘ³－ｘ² の値を求めよ。』
宜しくお願いいたします
整式の式変形について
フォーラムルール
新規投稿は質問のみとさせていただきます。
新規投稿は質問のみとさせていただきます。
-
ゲスト
Re: 整式の式変形について
ｘ⁵+ｘ+1＝0 ‥‥①、ｘ³－ｘ²＝k ‥‥②、とする。
ｘ⁵+ｘ+1、を、ｘ³－ｘ²で割ると
ｘ⁵+ｘ+1＝(ｘ³－ｘ²)(x²＋x＋1)＋x²＋x＋1＝➁より＝
(k＋1)(x²＋x＋1)＝①より＝0。
・k＋1＝0の時 ‥‥ ➁から、ｘ⁵+ｘ+1＝(x²＋x＋1)(ｘ³－ｘ²＋1)＝0。
・x²＋x＋1＝0 ‥‥③の時 ‥‥ つまり、x＾3＝1 ‥‥④、である。
よって、②から、k＝ｘ³－ｘ²＝④から＝1－ｘ²＝③から＝x＋2、である。
③より、x＝(－1±√3*i)/2、だから、k＝x＋2＝(3±√3*i)/2。
以上から、ｘ³－ｘ²＝－1、(3±√3*i)/2。
ｘ⁵+ｘ+1、を、ｘ³－ｘ²で割ると
ｘ⁵+ｘ+1＝(ｘ³－ｘ²)(x²＋x＋1)＋x²＋x＋1＝➁より＝
(k＋1)(x²＋x＋1)＝①より＝0。
・k＋1＝0の時 ‥‥ ➁から、ｘ⁵+ｘ+1＝(x²＋x＋1)(ｘ³－ｘ²＋1)＝0。
・x²＋x＋1＝0 ‥‥③の時 ‥‥ つまり、x＾3＝1 ‥‥④、である。
よって、②から、k＝ｘ³－ｘ²＝④から＝1－ｘ²＝③から＝x＋2、である。
③より、x＝(－1±√3*i)/2、だから、k＝x＋2＝(3±√3*i)/2。
以上から、ｘ³－ｘ²＝－1、(3±√3*i)/2。