対数不等式についてです

[ゲスト]

写真の対数不等式の問題で、何故⑴ではそのままlogを外して普通の２次方程式として計算して、⑵では先ず底を2で統一した後、⑴見たく普通にlogを外さず、
右辺のlogを左辺に持ってきて対数の足し算（積）として計算するかが分かりません。

両方とも似たような式なのに、計算のやり方が異なるのはなぜでしょうか？またその見分け方も教えていただけると幸いです。

もしかして、logがついてないものが1つでもあれば、⑵みたいな計算をするのでしょうか？ご教授お願い致します。

[ゲスト]

(１)ｌｏｇ₄(ｘ²－３ｘ－１０)＝ｌｏｇ₄(２ｘ－４)
(２)ｌｏｇ₂(ｘ－２)＜１＋ｌｏｇ₁/₂(ｘ－４)

(１)は対数方程式、(２)は対数不等式です。
似ている訳がありません。
対数という点では同じでも、解く方針は異なります。

”(２つの)対数が等しい”って、どういうことでしょうか？
底が揃っているという前提で、真数が等しいことです。

だから、(１)はいきなり、真数の比較として、方程式に
持ち込めます。但し、真数は常に正でなくてはいけない
ので、”ｘ²－３ｘ－１０＞０，かつ，２ｘ－４”を満たす
”ｘ”だけが(１)の解になります。

”対数の大小の比較”も、基本的には同じです。
底を揃えるのも同じで、真数を比較するのも同じです。
しかし、真数の比較に持ち込むときに、揃えた底により、
不等号の向きが変わる場合があるんです。

底を”ａ”として、”ａ＞１”ならそのままでいいのですが、
”０＜ａ＜１”ならば、不等号の向きを変えなくてはいけ
ません。底を何に揃えても構いませんが、不等号の向き
が変わるような底に揃える意味はあまりないので、(２)
では、底を”２”に揃えて解くのが無難なんです。

更に、その際、対数の形で表現されていない項(数字)を
対数の形に表現し直して、和なら真数の積、差なら真数の
商にして、真数の大小の比較に持ち込めるようにします。

言葉で書くと、上記のように長くなりますが、そうしない
と”方程式や不等式を解く”ということを実現出来ない以上、
嫌でもしておかなくてはならない、当然な処理なんです。

＜おまけ＞
一応、解いておきます。

(１)ｌｏｇ₄(ｘ²－３ｘ－１０)＝ｌｏｇ₄(２ｘ－４)
真数は正より、”ｘ²－３ｘ－１０＞０，かつ，２ｘ－４＞０”
です。これらを解いて、ｘ＞５ ・・・①
両辺の真数を比較します。
ｘ²－３ｘ－１０＝２ｘ－４
ｘ²－５ｘ－６＝(ｘ－６)(ｘ＋１)＝０
よって、ｘ＝６，－１ ・・・②
”①かつ②”より、ｘ＝６

(２)ｌｏｇ₂(ｘ－２)＜１＋ｌｏｇ₁/₂(ｘ－４)
底を”２”に揃えます。
１＝ｌｏｇ₂２
ｌｏｇ₁/₂(ｘ－４)
＝{ｌｏｇ₂(ｘ－４)}／{ｌｏｇ₂(１／２)}
＝{ｌｏｇ₂(ｘ－４)}／(ｌｏｇ₂２⁻¹)
＝{ｌｏｇ₂(ｘ－４)}／(－ｌｏｇ₂２)
＝{ｌｏｇ₂(ｘ－４)}／(－１)
＝－ｌｏｇ₂(ｘ－４)
また、真数は正より、”ｘ－２＞０，かつ，ｘ－４＞０”です。
これらを解いて、ｘ＞４ ・・・①
よって、以下のようになります。
ｌｏｇ₂(ｘ－２)＜－ｌｏｇ₂(ｘ－４)
ｌｏｇ₂(ｘ－２)＋ｌｏｇ₂(ｘ－４)＜０＝ｌｏｇ₂１
ｌｏｇ₂{(ｘ－２)(ｘ－４)}＜ｌｏｇ₂１
”２＞１”より、不等号の向きは変わりません。
(ｘ－２)(ｘ－４)＜１
ｘ²－６ｘ＋７＝(ｘ－３＋√２)(ｘ－３－√２)＜０
よって、３－√２＜ｘ＜３＋√２ ・・・②
”①かつ②”より、４＜ｘ＜３＋√２
(１＜３－√２＜２，４＜３＋√２＜５)

非常に長くなりました。
以上です・・・。