三角関数の極限が分かりません

[ゲスト]

数3極限の問題
lim x→0 (sinx−sin(sinx))/(sinx−x)
の問題がわかりませんどなたか教えてください。

[ゲスト]

以下の変形で (sinx - x)/2 が複数個所出て来ますが、
そのまま書いてると式が長くなるから、
変形中だけ (sinx - x)/2 のことを h と表すことにします(最後に戻す)。
そう表すと、

(x+h)-h = x 、
(x+h)+h = x + 2h = x + (sinx - x) = sinx 、
2h = sin - x
で、これを逆向きに適用することにより、

● lim[x→0]{(sinx - sin(sinx))/(sinx - x)}
= lim[x→0]{(sin((x+h)-h) - sin((x+h)+h))/(2h)}
= lim[x→0]{- 2 cos(x+h) sin(h)/(2h)}
= lim[x→0]{- cos(x+h) sin(h)/h}
= lim[x→0]{- cos(x + (sinx - x)/2) sin((sinx - x)/2)/((sinx - x)/2)}
= lim[x→0]{- cos((sinx + x)/2) sin((sinx - x)/2)/((sinx - x)/2)}
= - cos((sin(0) + 0)/2) * 1 ( ∵ (sinx - x)/2 → 0)
= - cos(0) * 1
= - 1 。

h の所には、本当は x の式があると思って( x の式を h 1文字で表してるだけ)、
見てください。
x→0 に連動して当然 h も変化します( x の式を h と書いてるだけだから)。

因みに、
● (sin((x+h)-h) - sin((x+h)+h))/(2h)
= - 2 cos(x+h) sin(h)/(2h)
という変形は、
sin を微分したら cos になることを導き出す変形を、-1 倍したものです。
sin(sinx) - sinx ではなく sinx - sin(sinx) にしてあるせいで、
その変形そのものではなく、それを -1 倍したものになってしまってる。

[ゲスト]

以下の変形で (sinx - x)/2 が複数個所出て来ますが、
そのまま書いてると式が長くなるから、
変形中だけ (sinx - x)/2 のことを h と表すことにします(最後に戻す)。
そう表すと、

(x+h)-h = x 、
(x+h)+h = x + 2h = x + (sinx - x) = sinx 、
2h = sin - x
で、これを逆向きに適用することにより、

● lim[x→0]{(sinx - sin(sinx))/(sinx - x)}
= lim[x→0]{(sin((x+h)-h) - sin((x+h)+h))/(2h)}
= lim[x→0]{- 2 cos(x+h) sin(h)/(2h)}
= lim[x→0]{- cos(x+h) sin(h)/h}
= lim[x→0]{- cos(x + (sinx - x)/2) sin((sinx - x)/2)/((sinx - x)/2)}
= lim[x→0]{- cos((sinx + x)/2) sin((sinx - x)/2)/((sinx - x)/2)}
= - cos((sin(0) + 0)/2) * 1 ( ∵ (sinx - x)/2 → 0)
= - cos(0) * 1
= - 1 。

h の所には、本当は x の式があると思って( x の式を h 1文字で表してるだけ)、
見てください。
x→0 に連動して当然 h も変化します( x の式を h と書いてるだけだから)。

因みに、
● (sin((x+h)-h) - sin((x+h)+h))/(2h)
= - 2 cos(x+h) sin(h)/(2h)
という変形は、
sin を微分したら cos になることを導き出す変形を、-1 倍したものです。
sin(sinx) - sinx ではなく sinx - sin(sinx) にしてあるせいで、
その変形そのものではなく、それを -1 倍したものになってしまってる。