極限の示し方について

[ゲスト]

至急お願いします！
lim［n→∞］（1+a/n)^n=e^a
のa<0の場合の示し方を教えてください

[ゲスト]

はい、それ、aが正でも負でも関係なく成立します。
理由はシンプルで、定義そのものが$ e^a = limₙ→∞ (1 + a/n)^n$ だからです。

aが負のときって不安になる人多いんですけど、別にnが∞に行くとa/nは0に近づくんで、(1 + a/n)はちゃんと正の数になります。
例えばa = -5でも、nが1000なら(1 - 5/1000) = 0.995ですよね。全然問題ないです。

あと、「a < 0 だと無限乗して0になるんじゃ…？」って勘違いする人いるんですけど、それ、nが固定でaがデカい時の話なんですよ。
ここではnが∞に向かうから逆です。a/nがめっちゃ小さくなる。

数学的にガチで示すなら、logとTaylor展開で
$log(1 + a/n) ≈ a/n - (a^2)/(2n^2) + …$
だから
$n log(1 + a/n) ≈ a - (a^2)/(2n) + …$
で、n→∞なら a に近づいて、eの指数ルールで $e^a$になる…って流れです。

てことで、a<0でも成り立つんですよ。
不安になる気持ちはわかるけど、定義的にOKなんで、焦らなくて大丈夫です。

●$ lim[n→∞]{ (1 + a/n)^n }$
=lim[n→∞]{ ((1 + a/n)^(n/a))^a$
= $lim[n→∞]{ ((1 + a/n)^(1/(a/n)))^a }$
=$ lim[t→+0]{ ((1 + t)^(1/t))^a }$
=$ e^a 。