ベクトルの応用内容について聞きたいことがあります。

[ゲスト]

学校の授業で、ベクトルには内積の他にも、外積と呼ばれるものがあると聞きました。外積は体積を求めるものだと聞いたのですがよくわからないので詳細を教えてもらってもいいでしょうか。公式は成分同士の掛け算であることだけは知っています。外積の本質なども教えていただけると嬉しいです。知っている方、ご回答よろしくお願いします。

[ゲスト]

3次元空間上に存在する3つの非ゼロベクトル
$\vec{x},\vec{y},\vec{z}$
が与えられたとき、これらがお互いに平行でない場合には、3つのベクトル
の始点を一致させることにより、それらを対辺とする平行六面体を作ることができます（下図）。
これをベクトルによって張られる平行六面体と呼びます。
この平行六面体の底面はベクトルによって張られる平行四辺形であるため、その面積は外積を用いて、
\[ \left|\vec{x} \times \vec{y} \right| \]
と表すことが出来ます。（定義は省略）
一方、外積 $\vec{x} \times \vec{y}$は2つのベクトル$\vec{x} , \vec{y}$
の双方と垂直であるため、これは平行六面体の底面の法線ベクトルです。底面の法線ベクトル
$\vec{x} \times \vec{y}$とベクトル $\vec{z}$のなす角を$ \theta$,
平行六面体の高さを$h$
でかく（上図）。上図のように $ \theta$が鋭角である場合、余弦の定義より、
\[ \cos{\theta} =\frac{h}{\left| \vec{z}\right|}\cdots ① \]
が成り立ちます。一方、
法線ベクトル $\vec{x} \times \vec{y}$の方向が上図と逆向きの場合、$\vec{x} \times \vec{y}$と
$\vec{z}$のなす角$\theta$は鈍角になるので余弦の定義より
\[ \cos{(\pi-\theta)}=\frac{h}{\left| \vec{z}\right|} \cdots ② \]
①,②をまとめると
\[ \left| \cos{\theta} \right| =\frac{h}{\left|\vec{z} \right|} \]
すなわち
\[h= \left|\vec{z} \right| \left| \cos{\theta} \right| \]
となります。
したがって、平行六面体の体積は
\[ \left| \vec{x} \times \vec{y} \right| \cdot h= \left| \vec{x} \times \vec{y} \right| \left| \vec{z} \right| \left| \cos{\theta} \right| \]