相加相乗平均について

[ゲスト]

数Ⅱの質問です。
相加相乗平均を使った証明なのですが、以下の問題は必ず相加相乗平均を使わないといけないのでしょうか？
チャートの解説には別解はのっていませんでした。
a＞０のとき 不等式（X＋１/X）（X+４/X)≧９ が成り立つことを証明せよ。
また等号が成り立つ時はどんなときか。

私の解答
左辺を展開し、X＾2+4+1+4/X＾2となり
左辺ー右辺をして X＾2－4+4/X＾2
平方完成し (X^2－2/X)＾2≧0 で左辺≧右辺となり証明完成。等号が成り立つ時はX^2＝2 X＝√2となる。

しかし解説には
左辺を展開して、X＾2+4+1+4/X＾2
X＾2≧0、4/X^2≧0のため 相加相乗平均より
X＾2+4/X＾2≧2√X^2×4/X^2＝2√4＝4

よって（X＋１/X）（X+４/X)＝X＾2+5+4/X＾2≧4＋5＝9 よって証明完成。
等号が成り立つ時はX^4＝4 X＝√2

わかりにくい文章になってしまいすいません。
解説では相加相乗平均を使って無理やり解いているように見えますが(むしろわかりにくい)
この場合は解説のやり方のほうが正しいのでしょうか？
お願いします。

[ゲスト]

どちらでもかまいません。
どちらかと言えば左辺ー右辺≧0を示す方が自然です。

ただし右辺が書いてない問題
「x>0のとき(x+1/x）（x+4/x)の最小値を求めよ。」
なら相加平均≧相乗平均の方が自然です。

どちらかというとこちらがメインなのでそのための練習
と考えれば相加平均≧相乗平均を使う証明を理解
しておく必要があります。