高校数学 高次方程式 についてのこの問題の解法を教えてください。
3次方程式x^3+x^2+ax+2=0とx^3+x^2-2x-a=0とが共通な解をもつように，定数aの値を定めよ。ただし，a≠-2とする。更にこのとき，この2つの方程式の解をすべて求めよ。
高校数学 高次方程式 について
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Re: 高校数学 高次方程式 について
共通解をtとすると
(x³+x²+ax+2)-(x³+x²-2x-a)=0
はx=tを解に持つ。
ax-(-2x)+2-(-a)=0
(a+2)x+(a+2)=0
(a+2)(x+1)=0
a≠-2より
x+1=0
x=-1
この時、2つの3次方程式に代入して
-1+1-a+2=0, -1+1+2-a=0
a=2
これはa≠-2を満たす。
aがこの値の時、2つの方程式はそれぞれ
x³+x²+2x+2=0, x³+x²-2x-2=0
x(x²+2)+(x²+2)=0, x²(x+1)-2(x+1)=0
(x²+2)(x+1)=0, (x+1)(x²-2)=0
よってa=2で
この時
x³+x²+ax+2=0の実数解は-1のみ
(虚数解を含めるなら±√2iも解)
x³+x²-2x-a=0の解は-1, ±√2
(x³+x²+ax+2)-(x³+x²-2x-a)=0
はx=tを解に持つ。
ax-(-2x)+2-(-a)=0
(a+2)x+(a+2)=0
(a+2)(x+1)=0
a≠-2より
x+1=0
x=-1
この時、2つの3次方程式に代入して
-1+1-a+2=0, -1+1+2-a=0
a=2
これはa≠-2を満たす。
aがこの値の時、2つの方程式はそれぞれ
x³+x²+2x+2=0, x³+x²-2x-2=0
x(x²+2)+(x²+2)=0, x²(x+1)-2(x+1)=0
(x²+2)(x+1)=0, (x+1)(x²-2)=0
よってa=2で
この時
x³+x²+ax+2=0の実数解は-1のみ
(虚数解を含めるなら±√2iも解)
x³+x²-2x-a=0の解は-1, ±√2