図形と方程式の分野で分からない部分がある

[ゲスト]

高校数学について質問です。
数学IIでよくある、「円外の点から円に引いた接線の方程式を求めよ」という問題で、標準的な教科書の解法って「2接点を通る直線と円の交点を求める」ってことをしてるという認識であっていますか？

当方数学はあまり得意ではないのですが「接線と円の連立方程式」なのに解のペアが2組出ることに違和感があります。

私が考えたのは、点(7,1)を代入した時点でこの方程式はst平面上の話になるので、「求めたい点(s,t)は直線7s+t=25のどこかにあるよ」ということになるのだと思っています。
でもそれだけだと直線上のどこが(s,t)なのかがわからないので「s,tは円上の点だよ」という条件を追加することによってs,tを確定させることができるというふうに考えました。

ならば「2接点を通る直線と円の交点より」っていう答案の方が素直なのでは？と思ったのですが文部省のカリキュラムでは「円と接線の連立方程式より」というふうに指導するようなマニュアルになっているのでしょうか？知っている方がいましたら、ご回答よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

＞点(7,1)を代入した時点でこの方程式はst平面上の話になるので、「求めたい点(s,t)は直線7s+t=25のどこかにあるよ」ということになるのだと思っています。
でもそれだけだと直線上のどこが(s,t)なのかがわからないので「s,tは円上の点だよ」という条件を追加することによってs,tを確定させることができるというふうに考えました。

その考えで良いと思います。

＞ならば「2接点を通る直線と円の交点より」っていう答案の方が素直なのでは？と思った

その通りです。
「2接点を通る直線」
7s+t=25,
と、
s^2+t^2=5^2,
という円との２つの交点が(s,t)の解です。

「円と接線の連立方程式より」
という説明が、提示された解答のどこに書いてあるかが不明です。

接線は２つあるので、
「円と接線１の連立方程式より～」
「円と接線２の連立方程式より～」
という説明になるかと思うのですが、
その説明が、提示された解答のどこに書いてあるかが不明です。

＞円と接線の交点自体は1つしかないけど、ある定点を通る直線は2本ある→直線を決定づけるパラメータの組は2組ある→だからs,tの解は2つ求まる

その考えで良いと思います。

正確には、以下のように考えれば良いと思います。

「円と接線の交点自体は1つしかない。
その直線（接線）を決定づけるパラメータの組は2組求められた。
ゆえに、ある定点を通に、円に接する直線は2本あることがわかった。」

と考えれば良いと思います。