山口大学の入試問題についてわからない部分があります。

[ゲスト]

次の問題の解説お願いします。２００８年の山口大の入試問題です。
数列｛An}を｛An｝＝∫sinx(n乗）dx(n＝０，１，２，３、………）と定める。
↑０⇒π/２

（１）Ｎ≧２のとき、Ｎ｛An｝＝(Ｎ－１)｛Ａｎ－2｝であることを示せ。

（２）Ｎ≧1のとき、Ｎ{Ａｎ－1}{Ａｎ}＝π/２であることを示せ。

（３）｛Ａｎ｝≧{Ａｎ＋1}(ｎ＝0，1，2，3、………)であることを示せ。

（４）limＮ｛Ａｎ｝(二乗）を求めよ。
↑ｎ⇒∞

ご回答よろしくお願いします。

[ゲスト]

確認ですが、問題文中に出てくるNとnは同じ文字ですね。
今回は、nで統一します。では、以下に回答を書きます。ご確認をお願いします。


(1)
A[n]
=∫[0,π/2]sin^nx dx
=∫[0,π/2]sin^(n-1)x・sinx dx
=∫[0,π/2]sin^(n-1)x・(-cosx)' dx
=[sin^(n-1)x・(-cosx)][0,π/2]-∫[0,π/2](n-1)sin^(n-2)x・cosx・(-cosx) dx
=(n-1)∫[0,π/2]sin^(n-2)x・cos^2x dx
=(n-1)∫[0,π/2]sin^(n-2)x・(1-sin^2x) dx
=(n-1)∫[0,π/2]{sin^(n-2)x-sin^nx} dx
=(n-1)A[n-2]-(n-1)A[n]
∴ nA[n]=(n-1)A[n-2]

【追記】
定積分を用いた数列で漸化式を作るときの定石は、
部分積分で計算をすることです。

(2)
nA[n]=(n-1)A[n-2] の両辺に A[n-1] をかけて、
nA[n-1]A[n]=(n-1)A[n-2]A[n-1]

ここで、B[n]=nA[n-1]A[n] とおくと、
B[n]=B[n-1]
よって順次考えていくと、
B[n]=B[n-1]=B[n-2]=…=B[1]=A[0]A[1]

A[1]=∫[0,π/2]sinx dx=1、A[0]=∫[0,π/2] dx=π/2
より、
B[n]=A[0]A[1]=π/2
∴ nA[n-1]A[n]=π/2

(3)
0≦x≦π/2 … ★ の範囲において、
0≦sinx≦1
1≧sinx の両辺にsin^nx（≧0）をかけて、
sin^nx≧sin^(n+1)x
この両辺を★の範囲で積分計算して
A[n]≧A[n+1]

(4)
(2)・(3) より、
n{A[n]}^2=nA[n]A[n]≦nA[n-1]A[n]=π/2

n{A[n]}^2=nA[n]A[n]≧nA[n]A[n+1]={n/(n+1)}(n+1)A[n]A[n+1]={n/(n+1)}(π/2)

∴ {n/(n+1)}(π/2)≦n{A[n]}^2≦π/2

n→∞において、{n/(n+1)}(π/2)→π/2
したがってはさみうちの原理より、
lim[n→∞]n{A[n]}^2=π/2