自然数a,b,c,dが
a^2+b^2+c^2=d^2
を満たしている。
（１）
ｄが３で割り切れるならば、a,b,cはすべて３で割り切れるか、a,b,cのどれも３で割り切れないのかどちらかであることを示せ。
（２）
a,b,cのうち偶数が少なくとも２つあることを示せ。
どなたか分かる方、よろしくお願いします。
整数の性質の難問です
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ゲスト
Re: 整数の性質の難問です
(1)
$a=3k pm 1$ のとき
\[ a^2=9k^2 \pm 6k+1=3(3k^2 \pm 2k)+1 \]
つまり，$a $が 3 の倍数でないとき $a^2$ を 3 で割った余りは 1 になります。
$b^2，c^2$ についても 3 で割った余りは 0 または 1 です。
$d$ が 3 で割りきれるとき$ d^2 $は 3 で割り切れます。
$a，b，c $のうちの 1 つまたは 2 つが 3 で割りきれないとき $a^2，b^2，c^2 $を 3 で割ったときの余りは 1 が 1 つまたは 2 つで残りが 0 ですから$ a^2+b^2+c^2 $を 3 で割った余りは 1 または 2 となります。
右辺の $d^2 $を 3 で割った余りは 0 なのでこれは矛盾です。
したがって，$a，b，c$ はすべて 3 で割りきれるかすべて割り切れないかのどちらかです。
(2) $a=2k$ のとき $a^2=4k^2$，$a=2k+1$ のとき $a^2=4(k^2+k)+1$
つまり $a $が偶数ならば $a^2 $は 4 の倍数，a が奇数ならば $a^2 $を 4 で割った余りは 1 です。
$b^2，c^2，d^2 $についても同様に 4 で割った余りは 0 か 1 のどちらかです。
$a^2+b^2+c^2$ を 4 で割った余りは$ a，b，c$ のうち奇数が 2 個ならば 2，奇数が 3 個ならば 3 になりますが右辺の$ d^2$ を 4で割った余りが 2 や 3 になることはありませんからこれは矛盾です。
したがって$ a，b，c $のうちの奇数は 1 個以下，偶数は 2 個以上です。
$a=3k pm 1$ のとき
\[ a^2=9k^2 \pm 6k+1=3(3k^2 \pm 2k)+1 \]
つまり，$a $が 3 の倍数でないとき $a^2$ を 3 で割った余りは 1 になります。
$b^2，c^2$ についても 3 で割った余りは 0 または 1 です。
$d$ が 3 で割りきれるとき$ d^2 $は 3 で割り切れます。
$a，b，c $のうちの 1 つまたは 2 つが 3 で割りきれないとき $a^2，b^2，c^2 $を 3 で割ったときの余りは 1 が 1 つまたは 2 つで残りが 0 ですから$ a^2+b^2+c^2 $を 3 で割った余りは 1 または 2 となります。
右辺の $d^2 $を 3 で割った余りは 0 なのでこれは矛盾です。
したがって，$a，b，c$ はすべて 3 で割りきれるかすべて割り切れないかのどちらかです。
(2) $a=2k$ のとき $a^2=4k^2$，$a=2k+1$ のとき $a^2=4(k^2+k)+1$
つまり $a $が偶数ならば $a^2 $は 4 の倍数，a が奇数ならば $a^2 $を 4 で割った余りは 1 です。
$b^2，c^2，d^2 $についても同様に 4 で割った余りは 0 か 1 のどちらかです。
$a^2+b^2+c^2$ を 4 で割った余りは$ a，b，c$ のうち奇数が 2 個ならば 2，奇数が 3 個ならば 3 になりますが右辺の$ d^2$ を 4で割った余りが 2 や 3 になることはありませんからこれは矛盾です。
したがって$ a，b，c $のうちの奇数は 1 個以下，偶数は 2 個以上です。
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ゲスト
Re: 整数の性質の難問です
(1) a=3k±1 のとき
a^2=9k^2±6k+1=3(3k^2±2k)+1
つまり，a が 3 の倍数でないとき a^2 を 3 で割った余りは 1 になります。
b^2，c^2 についても 3 で割った余りは 0 または 1 です。
d が 3 で割りきれるとき d^2 は 3 で割り切れます。
a，b，c のうちの 1 つまたは 2 つが 3 で割りきれないとき a^2，b^2，c^2 を 3 で割ったときの余りは 1 が 1 つまたは 2 つで残りが 0 ですから a^2+b^2+c^2 を 3 で割った余りは 1 または 2 となります。
右辺の d^2 を 3 で割った余りは 0 なのでこれは矛盾です。
したがって，a，b，c はすべて 3 で割りきれるかすべて割り切れないかのどちらかです。
(2) a=2k のとき a^2=4k^2，a=2k+1 のとき a^2=4(k^2+k)+1
つまり a が偶数ならば a^2 は 4 の倍数，a が奇数ならば a^2 を 4 で割った余りは 1 です。
b^2，c^2，d^2 についても同様に 4 で割った余りは 0 か 1 のどちらかです。
a^2+b^2+c^2 を 4 で割った余りは a，b，c のうち奇数が 2 個ならば 2，奇数が 3 個ならば 3 になりますが右辺の d^2 を 4で割った余りが 2 や 3 になることはありませんからこれは矛盾です。
したがって a，b，c のうちの奇数は 1 個以下，偶数は 2 個以上です。
a^2=9k^2±6k+1=3(3k^2±2k)+1
つまり，a が 3 の倍数でないとき a^2 を 3 で割った余りは 1 になります。
b^2，c^2 についても 3 で割った余りは 0 または 1 です。
d が 3 で割りきれるとき d^2 は 3 で割り切れます。
a，b，c のうちの 1 つまたは 2 つが 3 で割りきれないとき a^2，b^2，c^2 を 3 で割ったときの余りは 1 が 1 つまたは 2 つで残りが 0 ですから a^2+b^2+c^2 を 3 で割った余りは 1 または 2 となります。
右辺の d^2 を 3 で割った余りは 0 なのでこれは矛盾です。
したがって，a，b，c はすべて 3 で割りきれるかすべて割り切れないかのどちらかです。
(2) a=2k のとき a^2=4k^2，a=2k+1 のとき a^2=4(k^2+k)+1
つまり a が偶数ならば a^2 は 4 の倍数，a が奇数ならば a^2 を 4 で割った余りは 1 です。
b^2，c^2，d^2 についても同様に 4 で割った余りは 0 か 1 のどちらかです。
a^2+b^2+c^2 を 4 で割った余りは a，b，c のうち奇数が 2 個ならば 2，奇数が 3 個ならば 3 になりますが右辺の d^2 を 4で割った余りが 2 や 3 になることはありませんからこれは矛盾です。
したがって a，b，c のうちの奇数は 1 個以下，偶数は 2 個以上です。