微分の定義について質問があります

[ゲスト]

微分の問題です。
f(x)=x|x|を定義に従って微分せよ。
という問題の解説をお願いしたいです。

[ゲスト]

微分の定義から
f'(x) = lim[h→0] {(x+h)|x+h| - x|x|} / h

i. x > 0 のとき、
h→0のとき、x+h > 0、 x > 0 より、
f'(x)
= lim[h→0] {(x+h)^2 - x^2} / h
= lim[h→0] (x^2 + 2xh + h^2 - x^2) / h
= lim[h→0] (2xh + h^2) / h
= lim[h→0] (2x + h)
= 2x

ii. x < 0 のとき、
h→0のとき、x+h < 0、x < 0 より、
f'(x)
= lim[h→0] {-(x+h)^2 + x^2} / h
= lim[h→0] (-2xh - h^2) / h
= lim[h→0] (-2x - h)
= -2x

iii. x = 0のとき、
右側極限と左側極限の両方を考えないといけません
h→+0のとき、0+h > 0、よって、
lim[h→+0] {(0+h)^2 - 0} / h
= lim[h→+0] (2h × 0 + h^2) / h
= lim[h→+0] (2 × 0 + h)
= 0
h→-0のとき、0+h < 0、よって、
lim[h→-0] {-(0+h)^2 -0} / h
= lim[h→-0] (-2h × 0 - h^2) / h
= lim[h→-0] (-2 × 0 - h)
= 0
右側極限と左側極限が一致するので
lim[h→0] {(0+h)|0+h| - 0|0|} / h = 0
f'(0) = 0

よって、
x ≧ 0 のとき、f'(x) = 2x
x ≦ 0 のとき、f'(x) = -2x

でどうでしょう…
わからないところがあったら、返信いただけると幸いです

[ゲスト]

解答ありがとうございます。

i,iiの場合分けで
h→+0とh→-0に分けて考える必要は無いのはなぜでしょうか。x>0でh→-0のときとかx+h<0になる可能性はありませんか？

面倒かもしれませんが、ご返信お願い致します。

[ゲスト]

例えば、x = 0.1 として、h → -0を考えてみましょう
ε > -h と置くと、ε > 0 が成り立ちます（h → -0 より、hは負の数）
また、h → -0 なので ε → +0 となります

ここで、（あまりいい方法ではありませんが）
ε = 1/10^n とおいて考えてみましょう
ここで n → ∞ のとき、ε → +0を意味します
（nがめっちゃでかくなるとεがめっちゃ小さくなるって意味）

x - N = 0 のとき、N = 0.1
よって、0 < ε < 0.1 のとき、x - ε > 0となるわけです
ここで、ε = 1/10^n なので、n > 1のとき、ε < 0.1 となります
よって n → ∞ のとき、ε < 0.1 は満たされるので、
x - ε > 0 が成り立つ、つまり x + h > 0

こんな感じで、どんな正の実数xをとっても、
x - N = 0 を満たす正の実数 N が存在して、
1/10^n < N を満たす適切な n = n1 が存在して、
n > n1のとき、0 < 1/10^n < Nは必ず満たされるので、
n → ∞のとき、x - 1/10^n = x - ε > 0 は必ず満たされる
したがって h → -0 のとき x + h > 0 が必ず成立する

…ていうのが形式的な証明になります
（イプシロンデルタ論法という手法でとてもややこしいと思います
　正直この証明もだいぶ不適切なものだと思いますが、
　雰囲気だけでも感じ取ってもらえたらと思います）

感覚的に話すと x > 0、ε → +0 のとき、x - ε > 0 を満たす
めっさ小さい ε って必ずあるよねっていうことです

同じことが x < 0、h → +0 のときの x + h < 0 にも言えます

x が負の数だったら、h をめっさ小さくすると x + h も負の数に
なっちゃうよねみたいな…

（こっちのほうがわかりやすいかも？
同じように話すと x > 0 のとき、x + h って、h が負の数でもめっちゃ
小さかったら x + h 正の数になっちゃうよねっていうこと）

長くなりましたが、ご確認をお願いします。