クイズ？

[ゲスト]

授業で先生が出した問題が解けません。今週の授業で答え合わせをするらしいのですが、できなくても良いと言われていますが、できた方が良いかと思うので、考え方と式と答えを教えてください。

問題は
全てのページに、1から順番にページが振ってある本があります。ページ番号に使われている活字1,2,3,…9,0の個数を数えると、全部で999個でした。この本のページ数を求めなさい。

というものです。
999個の数が書いてあるのであれば、ページ数は999ページじゃないの？と言ったのですが、違うと言われました。

[ゲスト]

まず初めに、1ページから9ページまでで9個の数字を使います。
\begin{align}
1\times 9=9　…①\\
\end{align}
次に10ページから99ページまでは、各ページに2個で、ページ数は合計90ページあるので、180この数字を使います。
\begin{align}
2\times(99-10+1)=180　…②\\
\end{align}
残りの数字は810個になっています。
100ページからは各ページに3個の数字を使います。810を3で割ると270です。
\begin{align}
(999-9-180)\div 3=270 …③\\
\end{align}
①②③より
\begin{align}
9+90+270=369\\
\end{align}

こたえは369ページです。