並べるだけでなく、条件がつくものが苦手です。
2の倍数は一の位で見分けるように3の倍数も一の位が3の倍数になっていれば良いのでしょうか？でも、そうすると21や27など一の位が3の倍数にならないものもあります。抜けているものに関しては数え上げれば良いのでしょうか？
場合の数
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ゲスト
Re: 場合の数
今回使える数字の中に$0$が入っているところが、まずは要注意点です。３桁の整数を作るのに、百の位には$0$が入らないように気をつけましょう。
そして$3$の倍数と$9$の倍数については
$n$が$3$の倍数$\Leftrightarrow $$n$の各位の数の和が$3$の倍数
$n$が$9$の倍数$\Leftrightarrow$$n$の各位の数の和が$9$の倍数
ですが、めちゃくちゃよく使うのでこれを機に頭に叩き込んでおきましょう。証明も簡単です。
今回の問題で、つくられる3桁の数を$n$、$n$の百の位、十の位、一の位をそれぞれ$a,b,c$とおきます。
$c=0$のとき
$a$は$1$~$4$のいずれの数でもよく、$b$は$0$と$a$以外なので、$n$は$4\times 3=12$個できます。
$c=1,2,3,4$のとき、$a$は$0$と$c$以外、$b$は$a$と$c$以外ですので、$n$はそれぞれ$3\times 3=9$個できます。
よて、偶数である$n$は$12+9\times 2=30$個、奇数である$n$は$9\times 2=18$個できます。
一方で、$n$が$3$の倍数になるのは、$a+b+c$が3の倍数になるときなので、このような$a,b,c$の組み合わせは
{0,1,2},{0,2,4},{1,2,3},{2,3,4}
これからできる$n$は{0,1,2},{0,2,4}のとき$2\times2–4$個、{1,2,3},{2,3,4}のときに$3!=6$個なので、
3の倍数である$n$は$4\times2+6\times2=20$個
また、$n$が6の倍数になるのは、$n$が3の倍数かつ$c$が偶数のときなので、このような$n$は
{0,1,2}のとき$102,120,210$の3個
{0,2,4}のとき4個
{1,2,3}のとき$c=2$となる$2!=2$個
{2,3,4}のとき$c=2,4$となる$2!\times 2=4$個
よって、6の倍数である$n$は$3+4+2+4=13$個
さらに、$n$が9のばいすうになるのは、$a+b+c$が9の倍数になるときなので、このような$n$は{2,3,4}の時の$6$個
そして$3$の倍数と$9$の倍数については
$n$が$3$の倍数$\Leftrightarrow $$n$の各位の数の和が$3$の倍数
$n$が$9$の倍数$\Leftrightarrow$$n$の各位の数の和が$9$の倍数
ですが、めちゃくちゃよく使うのでこれを機に頭に叩き込んでおきましょう。証明も簡単です。
今回の問題で、つくられる3桁の数を$n$、$n$の百の位、十の位、一の位をそれぞれ$a,b,c$とおきます。
$c=0$のとき
$a$は$1$~$4$のいずれの数でもよく、$b$は$0$と$a$以外なので、$n$は$4\times 3=12$個できます。
$c=1,2,3,4$のとき、$a$は$0$と$c$以外、$b$は$a$と$c$以外ですので、$n$はそれぞれ$3\times 3=9$個できます。
よて、偶数である$n$は$12+9\times 2=30$個、奇数である$n$は$9\times 2=18$個できます。
一方で、$n$が$3$の倍数になるのは、$a+b+c$が3の倍数になるときなので、このような$a,b,c$の組み合わせは
{0,1,2},{0,2,4},{1,2,3},{2,3,4}
これからできる$n$は{0,1,2},{0,2,4}のとき$2\times2–4$個、{1,2,3},{2,3,4}のときに$3!=6$個なので、
3の倍数である$n$は$4\times2+6\times2=20$個
また、$n$が6の倍数になるのは、$n$が3の倍数かつ$c$が偶数のときなので、このような$n$は
{0,1,2}のとき$102,120,210$の3個
{0,2,4}のとき4個
{1,2,3}のとき$c=2$となる$2!=2$個
{2,3,4}のとき$c=2,4$となる$2!\times 2=4$個
よって、6の倍数である$n$は$3+4+2+4=13$個
さらに、$n$が9のばいすうになるのは、$a+b+c$が9の倍数になるときなので、このような$n$は{2,3,4}の時の$6$個