数学の問題です。
l1,l2,l3を座標空間の点Oを始点とする3つの相異なる半直線とする。l1とl2およびl1とl3がOにおいてなす角はπ/3であるとし、l2とl3がOにおいてなす角をθ（0<θ≦2π/3）とする。Ｏとは異なるl1,l2,l3の上の3点P1,P2,P3を頂点する正三角形が存在するようなCOSθの値を求めよ。
これの解説をお願いします。
平面ベクトルについて
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ゲスト
Re: 平面ベクトルについて
半直線ℓ₁,ℓ₂,ℓ₃上にそれぞれ点A,B,Cをとり、OA=a,OB=b,OC=cとする。
又、AB=x, AC=y, BC=zとする。
余弦定理より、
x²=a²+b²-2abcos(π/3)=a²+b²-ab...①
y²=a²+c²-ac...②
△ABCが正三角形ならば、①=②より、
(b-c)(b+c-a)=0
よって、
b=c, 又は、b+c-a=0 が必要条件となります。
(1)...b+c-a=0の時、
a=b+cを①に代入して、x²=b²+bc+c²...③
△OBCで余弦定理より、
z²=b²+c²-2bccosθ...④
③=④より、
cosθ=-1/2
よって、
θ=2π/3
逆に、この時、△ABCは正三角形となる。
(2)...b=cの時、
①より、x²=a²+b²-ab.....⑤
④より、z²=2b²-2b²cosθ....⑥
ここで、a=tbと置き(t＞0)、⑤＝⑥よりcosθについて解くと、
cosθ=(-1/2)(t-1/2)²+5/8
今、
cosθ=yと置くと、0＜θ≦2π/3だから、-1/2≦y＜1...⑦
よって、
y=(-1/2)(t-1/2)²+5/8のグラフより、⑦を満たす値域は、
-1/2≦y≦5/8
よって、
-1/2≦cosθ≦5/8....⑧
逆に、この時、△ABCは正三角形となる
(1)の結果は、⑧に含まれるから求める範囲は、
-1/2≦cosθ≦5/8......( 修正しました。)
又、AB=x, AC=y, BC=zとする。
余弦定理より、
x²=a²+b²-2abcos(π/3)=a²+b²-ab...①
y²=a²+c²-ac...②
△ABCが正三角形ならば、①=②より、
(b-c)(b+c-a)=0
よって、
b=c, 又は、b+c-a=0 が必要条件となります。
(1)...b+c-a=0の時、
a=b+cを①に代入して、x²=b²+bc+c²...③
△OBCで余弦定理より、
z²=b²+c²-2bccosθ...④
③=④より、
cosθ=-1/2
よって、
θ=2π/3
逆に、この時、△ABCは正三角形となる。
(2)...b=cの時、
①より、x²=a²+b²-ab.....⑤
④より、z²=2b²-2b²cosθ....⑥
ここで、a=tbと置き(t＞0)、⑤＝⑥よりcosθについて解くと、
cosθ=(-1/2)(t-1/2)²+5/8
今、
cosθ=yと置くと、0＜θ≦2π/3だから、-1/2≦y＜1...⑦
よって、
y=(-1/2)(t-1/2)²+5/8のグラフより、⑦を満たす値域は、
-1/2≦y≦5/8
よって、
-1/2≦cosθ≦5/8....⑧
逆に、この時、△ABCは正三角形となる
(1)の結果は、⑧に含まれるから求める範囲は、
-1/2≦cosθ≦5/8......( 修正しました。)