三角関数の積分によって体積を出す問題です

[ゲスト]

y=sinx y=cosx(0≦x≦π/4)をy軸周りに一回転させてできる立体の体積を求めよ
dy=cosxdx,dy=-sinxdxをそれぞれ部分積分してといたのですが答えがおかしいです

どなたかお願いします

[ゲスト]

部分積分を使うといいと思います。

曲線 y＝sinx と y＝cosx は、点 (π／4，1／√2) で交わる。

(Ⅰ)
y＝sinx
x＝0 のとき y＝0
x＝π／4 のとき y＝1／√2
dy/dx＝cosx より

0≦y≦1／√2 部分の体積は、(部分積分2回)
π∫[0，1／√2]x²dy＝π∫[0，π／4]x²(dy/dx)dx
＝π∫[0，π／4]x²cosxdx
＝π([x²sinx][0，π／4]－2∫[0，π／4]xsinxdx)
＝π〔(π²／16)(1／√2)－2{[xcosx][π／4，0]＋∫[0，π／4]cosxdx}〕
＝π〔(π²／16)(1／√2)－2{－(π／4)(1／√2)＋[sinx][0，π／4]}〕
＝π{(π²／16)(1／√2)＋(π／2)(1／√2)－2(1／√2)}
＝π(1／16)(π²＋8π－32)(1／√2)
＝{1／(16√2)}π(π²＋8π－32)

(Ⅱ)
y＝cosx
x＝0 のとき y＝1
x＝π／4 のとき y＝1／√2
dy/dx＝－sinx より

1／√2≦y≦1 部分の体積は、(部分積分2回)
π∫[1／√2，1]x²dy＝π∫[π／4，0]x²(dy/dx)dx
＝π∫[0，π／4]x²sinxdx
＝π([x²cosx][π／4，0]＋2∫[0，π／4]xcosxdx)
＝π〔－(π²／16)(1／√2)＋2{[xsinx][0，π／4]－∫[0，π／4]sinxdx}〕
＝π〔－(π²／16)(1／√2)＋2{(π／4)(1／√2)＋[cosx][0，π／4]}〕
＝π〔－(π²／16)(1／√2)＋(π／2)(1／√2)＋2{(1／√2)－1}〕
＝π{－(π²／16)(1／√2)＋(π／2)(1／√2)＋2(1／√2)－2}
＝π(－1／16)(π²－8π－32＋32√2)(1／√2)
＝－{1／(16√2)}π(π²－8π－32＋32√2)

(Ⅰ),(Ⅱ) より
求める体積は、
{1／(16√2)}π(π²＋8π－32)－{1／(16√2)}π(π²－8π－32＋32√2)
＝(1／√2)π(π－2√2)